Câu 1.59 trang 18 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

Cho hàm số

Cho hàm số(f(x) = an (pi x)).

a) Tìm tập xác định của hàm số (y = f(x));

b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên k , ta có (f(x + k) = f(x)) . Từ đó suy ra (y = f(x)) là hàm số tuần hoàn với chu kì T = 1;

c) Cho biết sự biến thiên của hàm số (y = f(x)) trên mỗi khoảng(left( { - {1 over 2} + k;{1 over 2} + k} ight),k in Z);

d) Vẽ đồ thị của hàm số đó.

Giải

a) Hàm số (y = an (pi x)) xác định khi và chỉ khi (cos left( {pi x} ight) e 0.) Mặt khác

(cos left( {pi x} ight) = 0 Leftrightarrow {pi x}={pi  over 2} + kpi  Leftrightarrow x = {1 over 2} + kleft( {k in Z} ight))

Từ đó suy ra tập xác định của hàm số (y = an (pi x)) là: (D = Rackslash left{ {{1 over 2} + k|k in Z} ight})

b) Với mọi (k in Z,) ta có

(fleft( {x + k} ight) = an left[ {pi left( {x + k} ight)} ight] = an left( {pi x + kpi } ight) )

(= an left( {pi x} ight) = fleft( x ight))

Trong các số nguyên dương, số 1 là nhỏ nhất. Do đó ( an (pi x)) là hàm số tuần hoàn với chu kì (T = 1)

c) Ta thấy

( - {1 over 2} + k < x < {1 over 2} + k Leftrightarrow  - {pi  over 2} + kpi  < pi x < {pi  over 2} + kpi )

Từ đó suy ra hàm số ( an (pi x)) đồng biến trên mỗi khoảng (left( { - {1 over 2} + k;{1 over 2} + k} ight),,k in Z)

d) Đồ thị của hàm số có dạng như hình 1.20.

                                                       

zaidap.com