Câu 2.135 trang 93 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Giải các phương trình sau:

Giải các phương trình sau:

a) ({9.243^{{{x + 5} over {x - 7}}}} = {2187^{{{x + 17} over {x - 3}}}})

b) ({4^{sqrt {{x^2} + 5}  - x}} - {2^{sqrt {{x^2} + 5}  - x + 2}} =  - 4)

c) ({left| {2005 - x} ight|^{2006}} + {left| {2006 - x} ight|^{2005}} = 1)

d) ({3^x} - {3^{ - x}} = oot 3 of {8 - {x^2}} )

Giải

a) Đưa cả hai vế về lũy thừa cùng cơ số 3.

(eqalign{
& Leftrightarrow {3^2}{.3^{5.{{x + 5} over {x - 7}}}} = {3^{7.{{x + 17} over {x - 3}}}} cr
& Leftrightarrow 2 + {{5left( {x + 5} ight)} over {x - 7}} = {{7.left( {x + 17} ight)} over {x - 3}} cr} )

Giải ra ta được: (x=10)

b) Đặt (t = {2^{sqrt {{x^2} + 5}  - x}}) ( với t > 0) ta có: 

(eqalign{
& {t^2} - 4t + 4 = 0 cr
& Leftrightarrow t = 2 Rightarrow sqrt {{x^2} + 5} - x = 1 cr} )

Giải ra ta được: (x = 2)

c) 

 Nhận xét  (x = 2005) và (x = 2006) là hai nghiệm, rồi chứng tỏ không còn nghiệm nào khác như sau :

( ullet ) Với (x < 2005) hoặc (x > 2006), dễ thấy vế trái lớn hơn vế phải.

( ullet ) Với (2005 < x < 2006) thì (0 < left| {2005 - x} ight| < 1,0 < left| {2006 - x} ight| < 1)

Do đó ({left| {2005 - x} ight|^{2006}} < left| {2005 - x} ight| = x - 2005)

          ({left| {2006 - x} ight|^{2005}} < left| {2006 - x} ight| = 2006 - x)

Dẫn đến vế trái nhỏ hơn vế phải.

d) (x = 0)

 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si chỉ ra hai vế trái không nhỏ hơn 2, còn dễ thấy vế phải không nhỏ hơn 2.

Sachbaitap.com