Bài 91 trang 139 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng ...
Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng
Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng
(eqalign{ & (alpha ):2x - y + 3z + 1 = 0, cr & (alpha '):x - y + z + 5 = 0 cr} )
Và điểm M(1; 5; 0).
a) Chứng minh ((alpha )) và ((alpha ')) cắt nhau. Tính góc giữa((alpha )) và ((alpha ')).
b) Viết phương trình tham số của giao tuyến (Delta ) của ((alpha )) và ((alpha ')).
c) Gọi hình chiếu của M trên mp ((alpha )), K là hình chiếu của M trên mp ((alpha ')). Tính độ dài đoạn HK.
d) Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (Delta ).
e) Viết phương trình đường thẳng đi qua M , vuông góc với (Delta ) và cắt (Delta ).
f) Viết phương trình mặt phẳng đi qua giao tuyến của ((alpha )) ,((alpha ')) và vuông góc với mặt phẳng (P):3x - y + 1=0.
Giải
a) Vì (overrightarrow {{n_alpha }} = { m{ }}left( {2{ m{ }};{ m{ }} - 1{ m{ }};{ m{ }}3} ight),overrightarrow {{n_{alpha '}}} = { m{ }}left( {1{ m{ }};{ m{ }} - 1{ m{ }};{ m{ }}1} ight)) nên (overrightarrow {{n_alpha }} ) và (overrightarrow {{n_{alpha '}}} ) không cùng phương, do đó hai mặt phẳng ((alpha )) và ((alpha ')) cắt nhau.
Gọi (varphi ) là góc giữa hai mặt phẳng đó, ta có :
(cos varphi = {{left| {overrightarrow {{n_alpha }} .overrightarrow {{n_{alpha '}}} } ight|} over {left| {overrightarrow {{n_alpha }} } ight|.left| {overrightarrow {{n_{alpha '}}} } ight|}})
(= {{left| {2.1 + left( { - 1} ight).left( { - 1} ight) + 3.1} ight|} over {sqrt {4 + 1 + 9} .sqrt {1 + 1 + 1} }} = {6 over {sqrt {14} .sqrt 3 }} = {{2sqrt 3 } over {sqrt {14} }})
b) (M(x;y;;z)) thuộc (Delta ) khi và chỉ khi toạ độ của M thoả mãn hệ phương trình :
(left{ matrix{ 2x{ m{ }} - y + { m{ }}3z{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0 hfill cr x{ m{ }} - y + z + { m{ }}5{ m{ }} = { m{ }}0. hfill cr} ight.)
Đặt z = t, ta có
(left{ matrix{ 2x{ m{ }} - y = { m{ }} - 1{ m{ }} - 3t{ m{ }} hfill cr x{ m{ }} - y = { m{ }} - 5{ m{ }} - t hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{ x = 4 - 2t hfill cr y = 9 - t. hfill cr} ight.)
Vậy phương trình tham số của đường thẳng (Delta ) là
(left{ matrix{ x{ m{ }} = 4{ m{ }} - 2t{ m{ }} hfill cr { m{y }} = { m{ }}9 - t hfill cr z{ m{ }} = { m{ }}t. hfill cr} ight.)
c) Vì H là giao điểm của đường thẳng đi qua M, vuông góc với (left( alpha ight)) nên toạ độ ((x{ m{ }};y;{ m{ }}z)) của H thoả mãn hệ :
(left{ {matrix{ {x{ m{ }} = { m{ }}1{ m{ }} + { m{ }}2t} hfill cr {y{ m{ }} = { m{ }} - t} hfill cr {z{ m{ }} = { m{ }}5{ m{ }} + { m{ }}3t} hfill cr {2x{ m{ }} - y + { m{ }}3z{ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }} = 0} hfill cr } } ight. )
(Rightarrow t = - {9 over 7} Rightarrow H = left( { - {{11} over 7};{9 over 7};{8 over 7}} ight).)
Vì K là giao điểm của đường thẳng đi qua M, vuông góc với (left( {alpha '} ight)) nên toạ độ ((x{ m{ }};y;{ m{ }}z)) của K thoả mãn hệ :
(left{ {matrix{ {x{ m{ }} = 1 + { m{ }}t} hfill cr {y{ m{ }} = - t} hfill cr {z{ m{ }} = 5 + { m{ }}t} hfill cr {x{ m{ }} - { m{ }}y{ m{ }} + { m{ }}z + 5 = 0} hfill cr } } ight. )
(Rightarrow t = - {{11} over 3} Rightarrow K = left( { - {8 over 3};{{11} over 3};{4 over 3}} ight).)
Vậy (HK = sqrt {{{left( { - {8 over 3} + {{11} over 7}} ight)}^2} + {{left( {{{11} over 3} - {9 over 7}} ight)}^2} + {{left( {{4 over 3} - {8 over 7}} ight)}^2}} )
( = sqrt {{{left( {{{23} over {21}}} ight)}^2} + {{left( {{{50} over {21}}} ight)}^2} + {{left( {{4 over {21}}} ight)}^2}} = {{sqrt {3045} } over {21}}.)
d) (Delta ) là đường thẳng đi qua ({M_o}left( {4{ m{ }};{ m{ }}9{ m{ }};{ m{ }}0} ight)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow {{u_Delta }} = left( { - 2; - 1;1} ight).)
Ta có (overrightarrow {{M_o}M} = { m{ }}left( { - 3{ m{ }};{ m{ }} - 9{ m{ }};{ m{ }}5} ight),) suy ra
(left[ {overrightarrow {{M_o}M} ,overrightarrow {{u_Delta }} } ight] = left( {left| {matrix{ { - 9} & 5 cr { - 1} & 1 cr } } ight|;left| {matrix{ 5 & { - 3} cr 1 & { - 2} cr } } ight|;left| {matrix{ { - 3} & { - 9} cr { - 2} & { - 1} cr } } ight|} ight) )
(= { m{ }}left( { - 4{ m{ }};{ m{ }} - 7{ m{ }};{ m{ }} - 15} ight).)
Vậy
(d(M,Delta ){ m{ }} = {{left| {left[ {overrightarrow {{M_o}M} ,overrightarrow {{u_Delta }} } ight]} ight|} over {left| {overrightarrow {{u_Delta }} } ight|}} )
(= ;{{sqrt {{{left( { - 4} ight)}^2} + { m{ }}{{left( { - 7} ight)}^2} + { m{ }}{{left( { - 15} ight)}^2};} } over {sqrt {;{{left( { - 2} ight)}^2} + { m{ }}{{left( { - 1} ight)}^2} + {1^2}} }} = {{sqrt {145} } over {sqrt 3 }}.)
e) Gọi ((eta )) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với (Delta ). Phương trình của ((eta )) là
( - 2(x{ m{ }} - 1){ m{ }} - { m{ }}1{ m{ }}left( {y{ m{ }} - { m{ }}0} ight){ m{ }} + { m{ }}1{ m{ }}left( {z{ m{ }} - { m{ }}5} ight){ m{ }} = { m{ }}0)
hay (2x{ m{ }} + { m{ }}y - { m{ }}z{ m{ }} + { m{ }}3{ m{ }} = { m{ }}0.)
Gọi J(x ; y ; z) là giao điểm của đường thẳng (Delta ) với mặt phẳng ((eta )).
Toạ độ của J thoả mãn hệ
(left{ {matrix{ matrix{ x = { m{ }}4{ m{ }} - 2t{ m{ }} hfill cr { m{y }} = { m{ }}9{ m{ }} - t hfill cr { m{ }}z{ m{ }} = { m{ }}t hfill cr} hfill cr {2x{ m{ }} + { m{ }}y - { m{ }}z{ m{ }} + { m{ }}3{ m{ }} = { m{ }}0} hfill cr } } ight.)
(Rightarrow t = {{10} over 3} Rightarrow J = left( { - {8 over 3};{{17} over 3};{{10} over 3}} ight).)
MJ chính là đường thẳng qua M, vuông góc và cắt đường thẳng (Delta ); nó có phương trình chính tắc là
({{x - 1} over {11}} = {y over { - 17}} = {{z - 5} over 5}.)
g) Gọi (R) là mặt phẳng qua (Delta ) (giao tuyến của (left( alpha ight)) và (left( {alpha '} ight))) và vuông góc với mp(P): (3x{ m{ }} - y + { m{ }}1{ m{ }} = { m{ }}0.) Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến (overrightarrow {{n_P}} = { m{ }}left( {3{ m{ }};{ m{ }} - 1{ m{ }};{ m{ }}0} ight).)
Khi đó (R) đi qua điểm Mơ = (4 ; 9 ; 0) và có vectơ pháp tuyến
(overrightarrow {{n_R}} = left[ {overrightarrow {{u_Delta }} ,overrightarrow {{n_P}} } ight] )
(= left( {left| {matrix{ { - 1} & 1 cr { - 1} & 0 cr } } ight|;left| {matrix{ 1 & { - 2} cr 0 & 3 cr } } ight|;left| {matrix{ { - 2} & { - 1} cr 3 & { - 1} cr } } ight|} ight))
(= left( {1;3;5} ight).)
Vậy phương trình của mp(R) là
(1(x{ m{ }} - 4){ m{ }} + { m{ }}3left( {y{ m{ }} - { m{ }}9} ight){ m{ }} + { m{ }}5left( {z{ m{ }} - { m{ }}0} ight){ m{ }} = { m{ }}0)
(Leftrightarrow x + { m{ }}3y{ m{ }} + { m{ }}5z{ m{ }} - { m{ }}31{ m{ }} = 0.)
Sachbaitap.com
