Bài 89 trang 138 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Dùng phương pháp hình học, giải thích các bài toán sau:

Dùng phương pháp hình học, giải thích các bài toán sau:

a) Chứng minh

(sqrt {5x + 2}  + sqrt {5y + 2}  + sqrt {5z + 2}  le 6sqrt 3 ,)

(forall x,y,z ge  - {2 over 5},x + y + z = 6.)

b) Chứng minh (left| {{mathop{ m s} olimits} { m{inx}} + sqrt {2 - {{sin }^2}x}  + {mathop{ m s} olimits} { m{inx}}sqrt {2 - {{sin }^2}x} } ight| le 3,forall x.)

c) Tìm giá trị lớn nhất của tham số

(f(x) = sqrt {x + m}  + sqrt {x + n}  + sqrt {m + n} )

Với (x,m,n ge 0,x + m + n = 1)

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

(A = sqrt {{{(x + 1)}^2} + {y^2} + 4}  + sqrt {{x^2} + {{(y + 1)}^2} + 1} ,)

(forall x,y.)

e) Chứng minh:

(sqrt {{{(x - 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}}  )

(+ sqrt {{{(x + 1)}^2} + {{(y - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}}  ge 2sqrt 2 ,forall x,y,z)

Dấu = xảy ra khi nào?

Giải

a) Xét hai vectơ :(overrightarrow u  = left( {1;1;1} ight)) và (overrightarrow v  = left( {sqrt {5x + 2} ;sqrt {5y + 2} ;sqrt {5z + 2} } ight).)

Ta có (eqalign{  & left| {overrightarrow u } ight| = sqrt 3 ,left| {overrightarrow v } ight| = sqrt {5(x + y + z) + 6}  = 6,  cr  & overrightarrow u .overrightarrow v  = sqrt {5x + 2}  + sqrt {5y + 2}  + sqrt {5z + 2} . cr} )

Áp dụng bất đẳng thức (left| {overrightarrow u .overrightarrow v } ight| le left| {overrightarrow u } ight|.left| {overrightarrow v } ight|) suy ra đpcm.

b) Xét hai vectơ :(overrightarrow u  = left( {sin x;1;sqrt {2 - {{sin }^2}x} } ight)) và  (overrightarrow v  = left( {1;sqrt {2 - {{sin }^2}x} ;sin x} ight))

Từ (left| {overrightarrow u .overrightarrow v } ight| le left| {overrightarrow u } ight|.left| {overrightarrow v } ight|) suy ra đpcm.

c) Xét hai vectơ : (overrightarrow u  = left( {sqrt {x + m} ;sqrt {x + n} ;sqrt {m + n} } ight)) và (overrightarrow v  = (1;1;1).)

Ta có (left| {overrightarrow u } ight| = sqrt 2 ), (left| {overrightarrow v } ight| = sqrt 3 ) suy ra (fleft( x ight) = overrightarrow u .overrightarrow v  le left| {overrightarrow u } ight|.left| {overrightarrow v } ight| = sqrt 6 ).

Dấu bằng xảy ra khi (overrightarrow u ), (overrightarrow v ) cùng hướng, nghĩa là

({{sqrt {x + m} } over 1} = {{sqrt {x + n} } over 1} = {{sqrt {m + n} } over 1} > 0 Leftrightarrow x = m = n > 0.)

Kết hợp với (x + m + n = 1) suy ra (x = m = n = {1 over 3})

Vậy (fleft( x ight)) đạt giá trị lớn nhất bằng (sqrt 6 ) khi (x = m = n = {1 over 3})

d) Đặt (overrightarrow u  = left( {x + 1;y;2} ight),) (overrightarrow v  = left( { - x; - y - 1;1} ight),) ta có (overrightarrow u  + overrightarrow v  = { m{ }}left( {1; - 1{ m{ }};3} ight).)

Áp dụng bất đẳng thức (left| {overrightarrow u  + overrightarrow v } ight| le left| {overrightarrow u } ight| + left| {overrightarrow v } ight|,) ta suy ra

(A = sqrt {{{left( {x + 1} ight)}^2} + {y^2} + 4}  + sqrt {{x^2} + {{left( {y + 1} ight)}^2} + 1} )

(ge sqrt {11} .)

Dấu bằng xảy ra khi (overrightarrow u ,overrightarrow v ) cùng hướng, nghĩa là

                  ({{x + 1} over { - x}} = {y over { - y - 1}} = {2 over 1} > 0 Leftrightarrow left{ matrix{  x =  - {1 over 3} hfill cr  y =  - {2 over 3}. hfill cr}  ight.)

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng (sqrt {11} ) khi (x =  - {1 over 3},y =  - {2 over 3}.)

e) Trong không gian Oxyz, ta lấy các điểm (Aleft( {1{ m{ }};{ m{ 1}};{ m{ }} - 1} ight),Bleft( { - 1{ m{ }};{ m{ 1 }};{ m{ 1}}} ight)) và (M(x;y;z).) Khi đó(AB = { m{ }}2sqrt 2 ) và

(MA{ m{ }} = { m{ }}sqrt {{{(x - 1)}^2} + { m{ }}{{(y{ m{ }} - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}} ,)

(MB{ m{ }} = { m{ }}sqrt {{{(x + 1)}^2} + { m{ }}{{(y{ m{ }} - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}} .)

Từ bất đẳng thức (MA + MB ge AB), ta suy ra

(sqrt {{{(x - 1)}^2} + { m{ }}{{(y{ m{ }} - 1)}^2} + {{(z + 1)}^2}}  )

(+ sqrt {{{(x + 1)}^2} + { m{ }}{{(y{ m{ }} - 1)}^2} + {{(z - 1)}^2}}  ge 2sqrt 2 .)

Dấu = xảy ra khi M nằm giữa hai điểm A, B hay(overrightarrow {AM}  = toverrightarrow {AB} ) ,(0{ m{ }} le t{ m{ }} le 1.)

nghĩa là

(left{ matrix{  x - 1 =  - 2t hfill cr  y - 1 = 0 hfill cr  z + 1 = 2t hfill cr}  ight. Leftrightarrow left{ matrix{  x = 1 - 2t hfill cr  y = 1 hfill cr  z =  - 1 + 2t hfill cr}  ight.)      (0{ m{ }} le t{ m{ }} le 1.)

Sachbaitap.com