Bài 92 trang 140 Sách bài tập hình học lớp 12 nâng cao

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

Trong không gian tọa độ Oxyz cho đường thẳng :

                     (Delta :left{ matrix{  x = 3 + t hfill cr  y =  - 1 + 2t hfill cr  z = 4 hfill cr}  ight.)

Gọi (Delta ') là giao tuyến của 2 mặt phẳng:

((alpha ):x - 3y + z = 0) và ((alpha '):x + y - z + 4 = 0)

và điểm M₀ (1; 1; 2).

a) Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng (Delta) và (Delta ') .

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa (Delta ') song song với (Delta ) .

c) Viết phương trình mặt phẳng qua M₀ và vuông góc với (Delta ) .

d) Viết phương trình đường thẳng qua M₀, cắt cả (Delta) và (Delta ') .

e) Tính khoảng cách giữa (Delta) và (Delta ') .

f) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (Delta) và (Delta ') .

Giải

a) Đường thẳng (Delta ) đi qua ({N_o}left( {3{ m{ }};{ m{ }} - 1{ m{ }};{ m{ }}4} ight)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow u left( {1;{ m{ }}2;{ m{ }}0} ight).)

Đường thẳng (Delta ') đi qua (N_o'( - 2;{ m{ }}0{ m{ }};{ m{ }}2)) và có vectơ chỉ phương

(overrightarrow {u'}  = left( {left| {matrix{   { - 3} & 1  cr   1 & { - 1}  cr  } } ight|;left| {matrix{   1 & 1  cr   { - 1} & 1  cr  } } ight|;left| {matrix{   1 & { - 3}  cr   1 & 1  cr  } } ight|} ight) = { m{ }}left( {2{ m{ }};{ m{ }}2{ m{ }};{ m{ }}4} ight))

Ta có (left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u'} } ight] = { m{ }}left( {8{ m{ }};{ m{ }} - 4{ m{ }};{ m{ }} - 2} ight),overrightarrow {{N_o}N_o'}  = { m{ }}left( { - 5{ m{ }};{ m{ }}1{ m{ }};{ m{ }} - 2} ight),) suy ra

(left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u'} } ight].overrightarrow {{N_o}N_o'}  = { m{ }}8left( { - 5} ight){ m{ }} + { m{ }}left( { - 4} ight).{ m{ }}1{ m{ }} - { m{ }}2left( { - 2} ight){ m{ }})

                              (= { m{ }} - 40{ m{ }} e { m{ }}0.)

Vậy (Delta ) và (Delta )' chéo nhau.

b) Gọi (P) là mặt phẳng chứa (Delta )' và song song với (Delta ), khi đó (P) đi qua điểm (N_o'left( { - 2;0;2} ight) in Delta ') và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow {{n_P}}  = {1 over 2}left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u'} } ight] = left( {4; - 2; - 1} ight).)

Vậy phương trình mp(P) là :

(4left( {x{ m{ }} + { m{ }}2} ight){ m{ }} - 2(y - { m{ }}0){ m{ }} - { m{ 1}}left( {z{ m{ }} - { m{ }}2} ight){ m{ }} = { m{ }}0) hay (4x{ m{ }} - { m{ }}2y{ m{ }} - z{ m{ }} + { m{ }}10{ m{ }} = { m{ }}0.)

c) Gọi d  là mặt phẳng qua ({M_o}left( {{ m{ }}1{ m{ }};{ m{ }}1{ m{ }};{ m{ }}2} ight)) và vuông góc với (Delta ). Khi đó, (Q) nhận vectơ (overrightarrow u  = { m{ }}left( {1{ m{ }};{ m{ }}2{ m{ }};{ m{ }}0} ight)) làm vectơ pháp tuyến. Vậy (Q) có phương trình :

(1{ m{ }}left( {x - { m{ }}1} ight){ m{ }} + { m{ }}2left( {y{ m{ }} - { m{ }}1} ight){ m{ }} = { m{ }}0) hay (x + { m{ }}2y{ m{ }} - { m{ }}3{ m{ }} = { m{ }}0.)

d) Gọi d là đường thẳng qua M_o, cắt cả (Delta ) và (Delta )'. Khi đó, d là giao tuyến của hai mặt phẳng (left( eta  ight) = { m{ }}({M_o},Delta )) và (left( {eta '} ight) = { m{ }}({M_o},Delta '))

Mặt phẳng (left( eta  ight)) đi qua ({M_o}left( {1;{ m{ }}1;{ m{ }}2} ight))  và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow {{n_eta }}  = left[ {overrightarrow {{M_o}{N_o}} ,overrightarrow u } ight].)

Ta có (overrightarrow {{M_o}{N_o}}  = { m{ }}left( {2{ m{ }};{ m{ }} - 2{ m{ }};{ m{ }}2} ight),overrightarrow u  = { m{ }}left( {1{ m{ }};{ m{ }}2{ m{ }};{ m{ }}0} ight),) suy ra

(overrightarrow {{n_eta }}  = left( {left| {matrix{   { - 2} & 2  cr   2 & 0  cr  } } ight|;left| {matrix{   2 & 2  cr   0 & 1  cr  } } ight|;left| {matrix{   2 & { - 2}  cr   1 & 2  cr  } } ight|} ight) = { m{ }}left( { - 4{ m{ }};{ m{ }}2{ m{ }};{ m{ }}6} ight).)

Vậy phương trình mp((eta )) là :

( - 4(x - 1) + { m{ }}2left( {y{ m{ }} - { m{ }}1} ight){ m{ }} + { m{ }}6left( {z{ m{ }} - { m{ }}2} ight){ m{ }} = { m{ }}0) hay ( - 2x + { m{ }}y{ m{ }} + { m{ }}3z{ m{ }} - { m{ }}5{ m{ }} = { m{ }}0.)

Mặt phẳng ((eta )) đi qua ({M_o}left( {1;{ m{ }}1;{ m{ }}2} ight)) và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow {{n_{eta '}}}  = left[ {overrightarrow {{M_o}N_o'} ,overrightarrow {u'} } ight].)

Ta có (overrightarrow {{M_o}N_o'}  = { m{ }}left( { - 3{ m{ }};{ m{ }} - 1{ m{ }};{ m{ }}0} ight),overrightarrow {u'} { m{ }} = { m{ }}(2;{ m{ }}2{ m{ }};{ m{ }}4),) suy ra

(left[ {overrightarrow {{M_o}N_o'} ,overrightarrow {u'} } ight] = left( {left| {matrix{   { - 1} & 0  cr   2 & 4  cr  } } ight|;left| {matrix{   0 & { - 3}  cr   4 & 2  cr  } } ight|;left| {matrix{   { - 3} & { - 1}  cr   2 & 2  cr  } } ight|} ight) )

                       (= left( { - 4;12; - 4} ight).)

Ta chọn một vectơ pháp tuyến khác của ((eta ')) là (1 ; -3 ; 1), từ đó ((eta ')) có phương trình là :

(1.(x - { m{ }}1){ m{ }} - { m{ }}3left( {y{ m{ }} - { m{ }}1} ight) + 1left( {z{ m{ }} - { m{ }}2} ight) = 0) hay (x - { m{ }}3y + z = 0.)

Dễ thấy rằng đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng ( - 2x + { m{ }}y{ m{ }} + 3z - 5 = { m{ }}0) và (x{ m{ }} - { m{ }}3y{ m{ }} + { m{ }}z{ m{ }} = { m{ }}0) thoả mãn bài toán. Do đó, phương trình tham số của d là

     (left{ matrix{  x = { m{ }} - 3{ m{ }} + { m{ }}2t hfill cr  ;y = { m{ }} - 1{ m{ }} + t hfill cr  { m{ }}z{ m{ }} = { m{ }}t. hfill cr}  ight.)

Dễ thấy d cắt cả (Delta ) và (Delta )'.

e) (dleft( {Delta ,Delta '} ight) = {{left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u'} } ight].overrightarrow {{N_o}N_o'} } ight|} over {left| {left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u'} } ight]} ight|}} = {{20} over {sqrt {21} }}.)          

g) Gọi đường vuông góc chung của (Delta ) và (Delta )' là (delta ). Khi đó, vectơ chỉ phương của (delta ) là (overrightarrow {{u_delta }}  = {1 over 2}left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {u'} } ight] = left( {4; - 2; - 1} ight).)

Gọi (({eta _1})) là mp(left( {Delta ,delta } ight)) thì (({eta _1})) đi qua N_o và có vectơ pháp tuyến

(overrightarrow {{n_1}}  = left[ {overrightarrow u ,overrightarrow {{u_delta }} } ight] = left( { - 2;1; - 10} ight).)

Vậy phương trình của (({eta _1})) là

( - 2(x - { m{ }}3){ m{ }} + { m{ }}1left( {y{ m{ }} + { m{ }}1} ight){ m{ }} - 10left( {z{ m{ }} - { m{ }}4} ight){ m{ }} = { m{ }}0) hay (2x{ m{ }} - { m{ }}y{ m{ }} + 10z{ m{ }} - { m{ }}47{ m{ }} = { m{ }}0.)

Gọi (({eta _2})) là mp(left( {Delta ',delta } ight)) thì (({eta _2})) đi qua (N_o') và có vectơ pháp tuyến (overrightarrow {{n_2}}  = ;left[ {overrightarrow {u'} ,overrightarrow {{u_delta }} } ight]; = { m{ }}left( {6;{ m{ }}18;{ m{ }} - { m{ }}12} ight).)

Vậy (({eta _2})) có phương trình là

(({eta _2})) : (x + { m{ }}3y{ m{ }} - { m{ }}2z{ m{ }} + { m{ }}6{ m{ }} = { m{ }}0.)

Do đó, đường vuông góc chung (delta ) của (Delta ) và (Delta )' là giao tuyến của hai mặt phẳng (:2x - { m{ }}y + 10z - { m{ }}47 = { m{ }}0) và (x{ m{ }} + 3y - 2z + 6 = { m{ }}0.)

Phương trình tham số của (delta ) là (left{ matrix{  x = {{23} over 7} - 4t hfill cr  y =  - {3 over 7} + 2t hfill cr  z{ m{ }} = { m{ }}4{ m{ }} + t. hfill cr}  ight.)

Sachbaitap.com