Câu 1.15 trang 9 sách bài tập Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Chứng minh: ...
Chứng minh:
Chứng minh:
a) Điểm có tọa độ (left( {kpi ;0} ight)) (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (y = sin x)
b) Điểm có tọa độ (left( {{{kpi } over 2};0} ight)) (k là một số nguyên) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số (y = an x)
c) Đường thẳng có phương trình (x = kpi ) (k là một số nguyên) là trục đối xứng của đồ thị hàm số (y = cos x)
Giải
a) Điểm (M'left( {x';y'} ight)) là điểm đối xứng của điểm (Mleft( {x;y} ight)) qua điểm (left( {kpi ;0} ight)) khi và chỉ khi:
({{x + x'} over 2} = kpi ,{{y + y'} over 2} = 0,) tức là
(left{ matrix{
x' = - x + k2pi hfill cr
y' = y hfill cr}
ight.)
Gọi C là đồ thị hàm số (y = sin x). C nhận (left( {kpi ;0} ight)) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm (Mleft( {x;y} ight)) thuộc C (tức là với mọi (x,y = sin x)) điểm (M'left( {x';y'} ight)) nói trên (tức là (x' = - x + k2pi ,y' = - y)) cũng thuộc C; điều này có nghĩa là ( - sin x = sin left( {x + k2pi } ight),) với mọi (x in Z) là một tâm đối xứng của đồ thị C của hàm số (y = sin x)
Cách chứng minh khác:
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục hệ tọa độ IXY, với (Ileft( {kpi ;0} ight);x = X + kpi ;y = Y) (phép biến đổi gốc tọa độ), (h.vẽ) thì đồ thị của hàm số (y = sin x) trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số
(Y = sin left( {X + kpi } ight) = {left( { - 1} ight)^k}sin X)
Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số (Y = {mathop{ m sinX} olimits} ) cũng như hàm số (Y = - {mathop{ m sinX} olimits} ) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I là tâm đối xứng.
b) Điểm (M'left( {x';y'} ight)) là điểm đối xứng của (Mleft( {x;y} ight)) qua điểm (left( {{{kpi } over 2};0} ight)) khi và chỉ khi
({{x + x'} over 2} = {{kpi } over 2},{{y + y'} over 2} = 0,) tức là
(left{ matrix{
x' = - x + kpi hfill cr
y' = - y hfill cr}
ight.)
Gọi C là đồ thị của hàm số (y = an x); C nhận (left( {{{kpi } over 2};0} ight)) làm tâm đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm (Mleft( {x;y} ight)) thuộc C (tức là (x in {D_1},y = an x)) điểm (M'left( {x';y'} ight)) nói trên (tức là (x' = - x + kpi ,y' = - y)) cũng thuộc C; điều này có nghĩa là ( - an x = an left( { - x + kpi } ight),) với mọi (X in {D_1}.) Điều đó đúng do (pi ) là chu kì của hàm số (y = an x). Vậy điểm (left( {{{kpi } over 2};0} ight),k in Z) là một tâm đối xứng của đồ thị C của hàm số (y = an x)
Chứng minh cách khác:
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang hệ trục tọa độ IXY, với (Ileft( {{{kpi } over 2};0} ight);x = X + {{kpi } over 2};y = Y.) Đồ thị của hàm số (y = an x) trong hệ trục toạn độ Oxy là đồ thị của hàm số
(Y = an left( {X + k{pi over 2}}
ight) = left{ matrix{
an X,,,,,,,,,,neu,,K ext{ chẵn } hfill cr
- {1 over { an X}},,,,,neu,,K ext{ lẻ } hfill cr}
ight.)
Trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số (Y = an X) cũng như hàm số (Y = - {1 over { an X}}) là hàm số lẻ nên đồ thị nhận I làm tâm đối xứng.
c) Điểm (M'left( {x';y'} ight)) là điểm đối xứng của điểm (Mleft( {x;y} ight)) qua đường thẳng (x = kpi ) (h.vẽ) khi và chỉ khi ({{x + x'} over 2} = kpi ,y = y',) tức là
(left{ matrix{{x'} = - x + k2pi hfill cr {y'} = y hfill cr} ight.)
Gọi C là đồ thị của hàm số (y = cos x.) C nhận đường thẳng (x = kpi ) làm một trục đối xứng khi và chỉ khi: Với mọi điểm (Mleft( {x;y} ight)) thuộc C (tức là với mọi (x,y = cos x)) điểm (M'left( {x';y'} ight)) nói trên cũng thuộc C. Điều này có nghĩa là
(cos x = cos left( { - x + k2pi } ight),forall x in R)
Rõ ràng ta có đẳng thức đó, do (2pi ) là chu kì của hàm số (y = cos x.) Vậy đường thẳng (x = kpi ,k in Z) là một trục đối xứng của đồ thị C của hàm số (y = cos x.).
Cách chứng minh khác
Xét phép đổi trục tọa độ Oxy sang trục toạ độ IXY, với (Ileft( {kpi ;0} ight);x = X + kpi ;y = Y,) thì đồ thị của hàm số (y = cos x) trong hệ trục tọa độ Oxy là đồ thị của hàm số (Y = cos left( {X + kpi } ight) = {left( { - 1} ight)^k}cos X) trong hệ tọa độ IXY. Vì hàm số (Y = cos X) cũng như hàm số (Y = - cos X) là các hàm số chẵn nên đồ thị đó nhận trục IY (tức là đường thẳng (x = kpi )) làm trục đối xứng.
zaidap.com
