Bài 42 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng

Cho đường tròn đường kính AB nằm trên mặt phẳng (left( P ight)) và một điểm M di động trên đường tròn. Trên đường thẳng vuông góc với (mpleft( P ight)) tại A, lấy một điểm S. Mặt phẳng (left( Q ight)) qua A vuông góc với SB tại K cắt SM tại H. Tìm vị trí của M để tính thể tích khối chóp S.AHK lớn nhất. Chứng minh rằng khi đó cung AM nhỏ hơn cung BM.

Giải

(h.27)

 

(eqalign{  & MB ot AM,MB ot SA  cr  &  Rightarrow MB ot left( {SAM} ight) Rightarrow MB ot AH(1)  cr  & SB ot left( {AKH} ight) Rightarrow SB ot AH.(1) cr} )

Từ (1) và (2) suy ra (eqalign{  & AH ot left( {SMB} ight) Rightarrow AH ot SM,AH ot HK.  cr  & {V_{S.AHK}} = {1 over 3}{S_{AHK}}.SK = {1 over 6}AH.KH.SK. cr} )

Vì (SK) cố định nên :

({V_{S.AHK}}max  Leftrightarrow left( {AH.KH} ight)max  )

(Leftrightarrow left( {A{H^2}.K{H^2}} ight)max  Leftrightarrow A{H^2} = K{H^2} = {{A{K^2}} over 2})

( vì (A{H^2} + H{K^2} = A{K^2}) không đổi).

Vậy ta chỉ cần xác định vị trí điểm M thỏa mãn điều kiện (A{H^2} = {{A{K^2}} over 2}.left(  *  ight))

Đặt (widehat {MAB}) =x,SA=h, AB=2R. Ta có

(eqalign{  & A{K^2} = {{S{A^2}.A{B^2}} over {S{B^2}}} = {{4{R^2}{h^2}} over {4{R^2} + {h^2}}},  cr  & AM = 2R{mathop{ m cosx} olimits} ,  cr  & A{H^2} = {{S{A^2}.A{M^2}} over {S{M^2}}} = {{4{h^2}{R^2}{{cos }^2}x} over {{h^2} + 4{R^2}{{cos }^2}x}}. cr} )

Từ (left(  *  ight)) ta suy ra : ({cos ^2}x = {{{h^2}} over {2left( {{h^2} + 2{R^2}} ight)}} < {1 over 2}.)

Từ đây ta xác định được x, tức là xác định được vị trí điểm M (có hai vị trí của điểm M ).

Từ ({cos ^2}x < {1 over 2}) suy ra ({mathop{ m cosx} olimits}  < {{sqrt 2 } over 2} = cos {45^0} Rightarrow x > {45^0}  ).

Vậy cung BM lớn hơn cung AM

Sachbaitap.com