Bài 38 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD.

Cho tứ diện ABCD. Gọi d là khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD, (alpha ) là góc giữa hai đường thẳng đó. Chứng minh rằng

({V_{ABCD}} = {1 over 6}AB.CD.d.sin alpha .)

Giải

Cách 1.

 

Dựng hình hộp AEBF.MDNC ( gọi là hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD) (h.22).

Vì (left( {AEBF} ight)//left( {MDNC} ight)) nên chiều cao của hình hộp bằng khoảng cách d giữa AB và CD.

Theo bài 37 ta có :

({V_{ABCD}} = {1 over 3}) V_hộp

(eqalign{  &  = {1 over 3}{S_{MDNC}}.d  cr  &  = {1 over 3}.{1 over 2}MN.CDsin alpha .d = {1 over 6}AB.CD.dsin alpha . cr} )

Cách 2. (h.23)

 

Dựng hình bình hành ABCE . Khi đó :

({V_{A.BCD}} = {V_{E.BCD}}) (do (AE//left( {BCD} ight)))       (1)

(eqalign{  & {V_{E.BCD}} = {V_{B.ECD}};;;;;(2)  cr  & {V_{B.ECD}} = {1 over 3}{S_{ECD}}.dleft( {B,left( {CDE} ight)} ight);;;(3)  cr  &  cr} )

({S_{ECD}} = {1 over 2}CE.CD.sin widehat {ECD}) 

          (eqalign{  &  = {1 over 2}AB.CDsin alpha ;;;;;;;;;;;;(4)     cr} )

(dleft( {B,left( {CDE} ight)} ight) = dleft( {AB,CD} ight)() do (AB//left( {CDE} ight));(5))

Từ (1), (2), (3), (4), (5) suy  ra :

({V_{ABCD}} = {1 over 6}AB.CD.dsin alpha .)

Sachbaitap.com