Câu 1.8 trang 11 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Với các giá trị nào của a, hàm số

Với các giá trị nào của a, hàm số

(f(x) =- {1 over 3}{x^3} + 2{x^2} + (2a + 1)x - 3a + 2)

nghịch biến trên (mathbb R) ?

Giải

Ta có: (f'(x) =  - {x^2} + 4x + 2a + 1)

(Delta ' = 2a - 5;Delta ' = 0 Leftrightarrow a =  - {5 over 2})

+) Nếu (a =- {5 over 2}) thì (f'(x) =  - {(x - 2)^2} le 0) với mọi (xin mathbb R), (f'(x)=0) chỉ tại điểm x = 2. Do đó hàm số nghịch biến trên (mathbb R) 

+) Nếu (Delta ' < 0) thì phương trình (f'(x) = 0) có hai nghiệm phân biệt ({x_1},{x_2}) (giả sử ({x_1} < {x_2})). Dễ thấy hàm số f đồng biến trên khoảng (left( {{x_1},{x_2}} ight)). Điều kiện đòi hỏi không được thỏa mãn.

+) Nếu (Delta ' < 0), tức là (a <  - {5 over 2}) thì (f(x) < 0) với mọi (xin mathbb R). Do đó hàm số nghịch biến trên (mathbb R)  

Vậy hàm số nghịch biến trên (mathbb R)  khi và chỉ khi

                                    (a le  - {5 over 2})

Sachbaitap.com