Bài 44 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành.

Khối chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AD và SC. Chứng minh mặt phẳng (left( {MNP} ight)) chia khối chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau.

Giải

(h.29).

 

Giả sử đường thẳng MN cắt CD và BC lần lượt tại K và I.

Dễ thấy :

 (eqalign{  & CK = {3 over 2}CD,CI = {3 over 2}CB,  cr  & dleft( {P,left( {ABC} ight)} ight) = {1 over 2}dleft( {S,left( {ABC} ight)} ight).  cr  &  cr} )

({V_{P.CIK}} = {1 over 3}.{1 over 2}CI.CKsin widehat {ICK} ) .(dleft( {P,left( {ABC} ight)} ight))

( = {1 over 3}.{1 over 2}.{3 over 2}CB.{3 over 2}CDsin widehat {BCD} ) .({1 over 2}dleft( {S,(ABC)} ight))

=({9 over {16}}({1 over 3}CB.CDsin widehat {BCD} ) .(dleft( {S,({ m{ABC)}}} ight))

( Rightarrow {V_{P.CIK}} = {9 over {16}}{V_{S.ABCD}}.)

Ta có :

(eqalign{  & {{{V_{I.BEM}}} over {{V_{I.CPK}}}} = {{IB} over {IC}}.{{IE} over {IP}}.{{IM} over {IK}} = {1 over 3}.{1 over 2}.{1 over 3} = {1 over {18}}  cr  &  Rightarrow {V_{I.BEM}} = {1 over {18}}{V_{I.CPK}} = {1 over {18}}{V_{P.CIK}} cr&;;;;;;;;;;;;;;;;;= {1 over {32}}{V_{S.ABCD}}. cr} )

Tương tự , ta cũng có ({V_{K.NDF}} = {1 over {18}}{V_{P.CIK}} = {1 over {32}}{V_{S.ABCD}}.)

Vậy nếu gọi V₂ là thể tích của phần khối chóp giới hạn bởi (mpleft( {MNP} ight)) với mặt phẳng đáy thì :

(eqalign{  & {V_2} = {V_{P.CIK}} - left( {{V_{I.BEM}} + {V_{K.NDF}}} ight)  cr  &  = {9 over {16}}{V_{S.ABCD}} - left( {{1 over {32}}{V_{S.ABCD}} + {1 over {32}}{V_{S.ABCD}}} ight)  cr  &  = {9 over {16}}{V_{S.ABCD}} - {1 over {16}}{V_{S.ABCD}} = {1 over 2}{V_{S.ABCD}}. cr} )

Vậy phần còn lại, tức là phần của khối chóp nằm trên (mpleft( {MNP} ight)), có thể tích V₁ cũng bằng ({1 over 2}{V_{S.ABCD}}).

Do đó V₁ = V₂.

Sachbaitap.com