Câu 1.11 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Cho hàm số

Cho hàm số (f(x) = 2{x^2}sqrt {x - 2} )

a) Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng ({ m{[}}2; + infty ))

b) Chứng minh rằng phương trình (2{x^2}sqrt {x - 2}  = 11) có một nghiệm duy nhất.

Giải      

a) Hàm số xác định và liên tục trên nửa khoảng (left[ {2; + infty } ight).)  

(f(x) = 2left( {2xsqrt {x - 2}  + {{{x^2}} over {2sqrt {x - 2} }}} ight) = {{x(5x - 8)} over {sqrt {x - 2} }} > 0) với mọi (x in left[ {2; + infty } ight).)

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng (left[ {2; + infty } ight).)

b) Hàm số liên tục trên đoạn (left[ {2;3} ight],f(2) = 0,f(3) = 18) vì 0 < 11 < 18 nên theo định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số thực.

(c in left( {2;3} ight)) sao cho f(c)= 11. Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho. Vì hàm số f đồng biến trên (left[ {2; + infty } ight)) nên c là nghiệm duy nhất của phương trình.

Sachbaitap.com