Câu 1.14 trang 12 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

a) Chứng minh rằng hàm số

a) Chứng minh rằng hàm số  (f(x) = an x - x) đồng biến trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight))

b) Chứng minh rằng

    ( an  - x > x + {{{x^3}} over 3}) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight))

Giải

a) Hàm số f liên tục tên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight)) và có đạo hàm

(f'(x) = {1 over {{{cos }^2}x}} - 1 = { an ^2}x > 0) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight))

Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight))

b) Từ a) suy ra (f(x) > 0) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight)), tức là

( an x > x) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight))

Xét hàm số (g(x) = an x - x - {{{x^3}} over 3}) trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight))

Hàm số liên tục trên (left[ {0;{pi  over 2}} ight)) và có đạo hàm

(g'(x) = {1 over {{{cos }^2}x}} - 1 - {x^2} - { an ^2}x - {x^2} > 0) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight))

(vì ( an x > 0) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight)). Do đó hàm số đồng biến trên nửa khoảng (left[ {0;{pi  over 2}} ight)) và (g(x) > g(0) = 0) với mọi (x in left( {0;{pi  over 2}} ight)). Từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh.

Sachbaitap.com