Bài 58 trang 13 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho đường tròn đường kính

Cho đường tròn đường kính AB = 2R nằm trong mặt phẳng (left( P ight)) và một điểm M nằm trên đường tròn đó sao cho (widehat {MAB} = alpha ). Trên đường thẳng vuông góc với (left( P ight)) tại A, lấy điểm S sao cho SA=h. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SM và SB.

a) Chứng minh rằng (SB ot mpleft( {KHA} ight)).

b) Gọi I là giao điểm của HK với (left( P ight)). Hãy chứng minh AI là tiếp tuyến của đường tròn đã cho.

c) Cho h = 2R, (alpha  = {30^0}), tính thể tích khối chóp S.KHA.

Giải

(h.40)

 

a) Ta có (BM ot AM) (vì M nằm trên đường tròn đường kính AB) và (BM ot SA) (do (SA ot left( P ight))), suy ra (BM ot left( {SAM} ight) Rightarrow BM ot AH.)

Mặt khác (AH ot SM,) suy ra (AH ot SB,)

Theo giả thiết , ta lại có (AK ot SB)

Vậy (SB ot left( {KHA} ight).)

b) Vì (SB ot left( {KHA} ight)) nên (SB ot AI), mặt khác (SA ot AI)nên (AI ot AB), mà AI thuộc (mpleft( P ight)), suy ra AI là tiếp tuyến của đường tròn đã cho tại điểm A.

c) Cách 1. Ta có :

(eqalign{  & {{{V_{S.KHA}}} over {{V_{S.BMA}}}} = {{SK} over {SB}}.{{SH} over {SM}} = {{SK.SB} over {S{B^2}}}.{{SH.SM} over {S{M^2}}} cr&= {{S{A^4}} over {S{B^2}.S{M^2}}}  cr  &  = {{(2R)^4} over {left( {4{R^2} + 4{R^2}} ight).left( {4{R^2} + A{M^2}} ight)}} cr&= {{2{R^2}} over {4{R^2} + 4{R^2}.{{cos }^2}alpha }} = {1 over {2left( {1 + {{cos }^2}alpha } ight)}},  cr  & {V_{S.BMA}} = {1 over 3}{S_{BMA}}.SA = {1 over 6}AM.BM.SA cr&= {1 over 6}2Rcos alpha .2Rsinalpha .2R  cr  &  = {{2{R^3}} over 3}sin 2alpha  = {{2{R^3}} over 3}.{{sqrt 3 } over 2} = {{{R^3}sqrt 3 } over 2}. cr} )

Vậy ({V_{S.KHA}} = {1 over {2left( {1 + {{cos }^2}alpha } ight)}}.{{{R^3}sqrt 3 } over 3} )

                      (= {1 over {2left( {1 + {3 over 4}} ight)}}.{{{R^3}sqrt 3 } over 3} = {{2{R^3}sqrt 3 } over {21}})

Cách 2. Dễ thấy ({V_{S.KHA}} = {1 over 3}{S_{KHA}}.SK.)

Dùng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có thể tính được SK, AH, AK, HK ( với chú ý rằng tam giác KHA vuông ở H) theo R. Từ đó tính được thể tích khối chóp S.KHA.

Sachbaitap.com