Câu 1.18 trang 13 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm cực trị của các hàm số sau:

Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) (y = sin {x^2} - sqrt 3 { m{cos}}x;x in left[ {0;pi } ight])

b) (y = 2sin x + { m{cos2}}x;x in left[ {0;pi } ight])

Giải          

a) (y' = 2sin xcos x + sqrt 3 sin x)           

        ( = sin x(2cos x + sqrt 3 ))

Với (0 < x < pi )  ta có (sin x > 0) . Do đó

        (y' = 0 Leftrightarrow cos x =  - {{sqrt 3 } over 2} Leftrightarrow x = {{5pi } over 6})

Bảng biến thiên

                               

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = {{5pi } over 6};y = left( {{{5pi } over 6}} ight) = 1{3 over 4})

Có thể áp dụng quy tắc 2

(y' = sin 2x + sqrt 3 sin x;y' = 2cos x + sqrt 3 cos x)

(y' = left( {{{5pi } over 6}} ight) = 2cos {{5pi } over 6} + sqrt 3 cos {{5pi } over 6} )

      (= 2.{1 over 2} + sqrt 3 left( { - {{sqrt 3 } over 2}} ight) =  - {1 over 2} < 0)

Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm (x = {{5pi } over 6};y = left( {{{5pi } over 6}} ight) = 1{3 over 4})

b) (y' = 2cos x - 2sin 2x = 2cos x(1 - 2sin x))

Với (0 < x < pi ) , ta có

(y' = 0 Leftrightarrow left[ matrix{ cos x = 0 hfill cr  sin x = {1 over 2} hfill cr}  ight.Leftrightarrow x = {pi  over 2},x = {pi  over 6},x = {{5pi } over 6})

Ta áp dụng quy tắc 2

(y' =  - 2sin x - 4cos 2x)

(y' = left( {{pi  over 2}} ight) =  - 2sin {pi  over 2} - 4cos x = 2 > 0)

Hàm số đạt cực tiểu tại điểm (x = {pi  over 2};yleft( {{pi  over 2}} ight) = 1)

                                (y'left( {{pi  over 6}} ight) =  - 2sin {pi  over 6} - 4cos {pi  over 3} =  - 3 < 0)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = {pi  over 6};yleft( {{pi  over 6}} ight) = {3 over 2})

                                (y' = left( {{{5pi } over 6}} ight) =  - 2sin {{5pi } over 6} - 4cos x{{5pi } over 3} =  - 3 < 0)

Hàm số đạt cực đại tại điểm (x = {{5pi } over 6};y = left( {{{5pi } over 6}} ight) = {3 over 2})

Sachbaitap.com