Bài 9 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Hình học 10: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn...

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) : ({(x – 5)^2} + {(y – 3)^2} = 4). Và điểm A(1 ; 2), một đường thẳng d đi qua A và cắt đường tròn (C) theo một dây cung MN có độ dài bằng (2sqrt 3 ). Viết phương trình của d.

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.32)

Đường tròn (C) có tâm I(5 ; 3) và có bán kính R = 2.

Gọi H là trung điểm của MN. Ta có

(IH ot MN) và (MH = {{MN} over 2} = sqrt 3 )

(IH = sqrt {I{M^2} – M{H^2}}  = sqrt {4 – 3}  = 1.)

Phương trình đường thẳng d có dạng : 

(y – 2 = k(x – 1) Leftrightarrow kx – y + 2 – k = 0.)

Ta có IH = 1

( Leftrightarrow {{left| {5k – 3 + 2 – k} ight|} over {sqrt {{k^2} + 1} }} = 1)

(eqalign{
& Leftrightarrow left| {4k – 1} ight| = sqrt {{k^2} + 1} cr
& Leftrightarrow {left( {4k – 1} ight)^2} = {k^2} + 1 cr} )

(eqalign{
& Leftrightarrow 15{k^2} – 8k = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
k = 0 hfill cr
k = {8 over {15}} hfill cr} ight. cr} )

Vậy có hai điểm d thỏa mãn đề bài.

Đó là ({d_1}:y – 2 = 0)

(eqalign{
& {d_2}:y – 2 = {8 over {15}}left( {x – 1} ight) cr
& Leftrightarrow 8x – 15y + 22 = 0. cr} )