Bài 8 trang 91 SGK Hình học 12
Giải bài 8 trang 91 SGK Hình học 12. Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α). ...
Giải bài 8 trang 91 SGK Hình học 12. Cho điểm M(1 ; 4 ; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).
Đề bài
Cho điểm (M(1 ; 4 ; 2)) và mặt phẳng ((α): x + y + z -1 = 0).
a) Tìm tọa độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (M) trên mặt phẳng ((α)) ;
b) Tìm tọa độ điểm (M') đối xứng với (M) qua mặt phẳng ((α)).
c) Tính khoảng cách từ điểm (M) đến mặt phẳng ((α)).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Phương pháp tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P).
Bước 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M và vuông góc với (P).
Bước 2: Gọi (H = d cap left( P ight)), tìm tọa độ điểm H. H chính là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P).
b) Điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng (P) nhận H làm trung điểm, với H là hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (P). Tìm tạo độ điểm M'.
c) Sử dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm (Mleft( {{x_0};{y_0};{z_0}} ight)) đến mặt phẳng (left( P ight):,,Ax + By + Cz + D = 0): (dleft( {M;left( P ight)} ight) = frac{{left| {A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D} ight|}}{{sqrt {{A^2} + {B^2} + {C^2}} }})
Lời giải chi tiết
a) Xét đường thẳng (d) qua (M) và (d ⊥ (α)).
Vectơ (overrightarrow{n}(1 ; 1 ; 1)) là vectơ pháp tuyến của ((α)) nên (overrightarrow{n}) là vectơ chỉ phương của (d).
Phương trình tham số của đường thẳng (d) có dạng: (left{egin{matrix} x=1+t & y=4+t & z=2+t & end{matrix} ight.).
Gọi (H = d cap left( P ight)), (H in d Rightarrow Hleft( {1 + t;4 + t;2 + t} ight)), vì (H in alpha) nên ta có:
(1 + t + 4 + t + 2 + t - 1 = 0 Leftrightarrow 3t + 6 = 0)
(Leftrightarrow t = - 2 Rightarrow Hleft( { - 1;2;0} ight))
b) Gọi (M'(x ; y ; z)) là điểm đối xứng của (M) qua mặt phẳng ((α)), thì hình chiếu vuông góc (H) của (M) xuống ((α)) chính là trung điểm của (MM').
Ta có:
(left{ egin{array}{l}{x_{M'}} = 2{x_H} - {x_M} = 2.left( { - 1} ight) - 1 = - 3{y_{M'}} = 2{y_H} - {y_M} = 2.2 - 4 = 0{z_{M'}} = 2{z_H} - {z_M} = 2.0 - 2 = - 2end{array} ight. Rightarrow M'left( { - 3;0; - 2} ight))
c) Tính khoảng cách từ điểm (M) đến mặt phẳng ((α))
Cách 1: (d(M,(alpha ))=frac{|1+4+2-1|}{sqrt{1+1+1}}=frac{6}{sqrt{3}}=2sqrt{3}).
Cách 2: Khoảng cách từ M đến (α) chính là khoảng cách MH:
(d(M,(α) )= MH) = (sqrt{2^{2}+2^{2}+2^{2}}=2sqrt{3}).
soanbailop6.com
