Bài 7 trang 91 SGK Hình học 12
Giải bài 7 trang 91 SGK Hình học 12. Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆ ...
Giải bài 7 trang 91 SGK Hình học 12. Cho điểm A(1 ; 0 ; 0) và đường thẳng ∆. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆
Đề bài
Cho điểm (A(1 ; 0 ; 0)) và đường thẳng (∆): (left{egin{matrix} x=2+t & y=1+2t & z=t & end{matrix} ight.).
a) Tìm tọa độ điểm (H) là hình chiếu vuông góc của điểm (A) trên đường thẳng (∆).
b) Tìm tọa độ điểm (A') đối xứng với (A) qua đường thẳng (∆).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng (Delta) thì (H in Delta), tham số hóa tọa độ điểm H theo ẩn t.
(overrightarrow {AH} ot Delta Rightarrow overrightarrow {AH} .{overrightarrow u _Delta } = 0), giải phương trình tìm t, từ đó suy ra tọa độ điểm H.
b) A' đối xứng với A qua đường thẳng d suy ra H là trung điểm của AA', với H là hình chiếu vuông góc của A trên (Delta). Từ đó tìm tọa độ điểm A'.
Lời giải chi tiết
a) Đường thẳng (∆) có vectơ chỉ phương (overrightarrow{u}(1 ; 2 ; 1)). (H ∈ ∆) nên (H(2 + t ; 1 + 2t ; t)).
Điểm (H ∈ ∆) là hình chiếu vuông góc của (A) lên (∆) khi và chỉ khi (overrightarrow{AH}ot) (overrightarrow{u}).
Ta có (overrightarrow{AH}(1+t ; 1 + 2t ; t)) nên:
(overrightarrow{AH}) ⊥ (overrightarrow{u}) ⇔ (overrightarrow{u}.overrightarrow{AH}) = 0.
⇔ (1 + t + 2(1 + 2t) + t = 0)
⇔ (6t + 3 = 0 ⇔ t = -frac{1}{2}).
⇔ (Hleft (frac{3}{2};0;-frac{1}{2} ight )).
b) Gọi (A') là điểm đối xứng của (A) qua (∆) và (H) là hình chiếu vuông góc của (A) lên (∆) thì (H) là trung điểm của (AA').
( Rightarrow left{ egin{array}{l}{x_{A'}} = 2{x_H} - {x_A} = 2.frac{3}{2} - 1 = 2{y_{A'}} = 2{y_H} - {y_A} = 2.0 - 0 = 0{z_{A'}} = 2{z_H} - {z_A} = 2.left( { - frac{1}{2}} ight) - 0 = - 1end{array} ight. Rightarrow A'left( {2;0; - 1} ight))
soanbailop6.com
