Bài 2 trang 89 SGK Hình học 12
Giải bài 2 trang 89 SGK Hình học 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên các trục. ...
Giải bài 2 trang 89 SGK Hình học 12. Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên các trục.
Đề bài
Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng
(d): (left{egin{matrix} x=2+t & y=-3+2t & z= 1+3t& end{matrix} ight.)
lần lượt trên các mặt phẳng sau:
a) ((Oxy)) ;
b) ((Oyz)).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách 1:
Phương pháp viết phương trình hình chiếu ((d')) của đường thẳng ((d)) trên mặt phẳng ((P)):
Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng ((Q)) chứa ((d )) và vuông góc với ((P)).
- ({overrightarrow n _{left( Q ight)}} = left[ {{{overrightarrow u }_{left( d ight)}};{{overrightarrow n }_{left( P ight)}}} ight]).
- (M in d Rightarrow M in left( Q ight)) (với M là một điểm bất kì).
Bước 2: (d' = left( P ight) cap left( Q ight)). Viết phương trình đường thẳng ((d')).
Cách 2:
Lấy 2 điểm (A,B) bất kì thuộc d, gọi (A',B') lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên (P). Khi đó ((d')) chính là đường thẳng (A'B').
Lời giải chi tiết
a) Xét mặt phẳng ((P)) đi qua (d) và ((P) ⊥ (Oxy)), khi đó (∆ = (P) ∩ (Oxy)) chính là hình chiếu vuông góc của (d) lên mặt phẳng ((Oxy)).
Phương trình mặt phẳng ((Oxy)) có dạng: (z = 0) ; vectơ (overrightarrow{k})(0 ; 0 ;1) là vectơ pháp tuyến của ((Oxy)), khi đó (overrightarrow{k}) và (overrightarrow{u}( 1 ; 2 ; 3)) là cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng ((P)).
(Rightarrow overrightarrow{n_{(P)}}=left [overrightarrow{u},overrightarrow{k} ight ] = (2 ; -1 ; 0)) là vectơ pháp tuyến của ((P)).
Phương trình mặt phẳng ((P)) có dạng: (2(x - 2) - (y + 3) +0.(z - 1) = 0 Leftrightarrow 2x - y - 7 = 0).
Đường thẳng hình chiếu (Delta = left( P ight) cap left( {Oxy} ight)) thỏa mãn hệ: (left{egin{matrix} z=0 & 2x-y-7=0.& end{matrix} ight.)
Điểm (M_0( 4 ; 1 ; 0) ∈ ∆) ; vectơ chỉ phương (overrightarrow{v}) của (∆) vuông góc với (overrightarrow{k}) và vuông góc với (overrightarrow{n}_{(P)}), vậy có thể lấy (overrightarrow{v}=left [overrightarrow{k},overrightarrow{n} ight ]= (1 ; 2 ; 0)).
Phương trình tham số của hình chiếu (∆) có dạng: (left{egin{matrix} x=4+t & y=1+2t& ,tin R z=0& end{matrix} ight.).
b) Mặt phẳng ((Oyz)) có phương trình (x = 0).
Lấy (M_1( 2 ;- 3 ; 1) ∈ d) và (M_2( 0 ; -7 ; -5) ∈ d), hình chiếu vuông góc của
(M_1) trên ((Oyz)) là (M_1)'((0 ; -3 ; 1)), hình chiếu vuông góc của (M_2) trên ((Oyz)) là chính nó.
Đườn thẳng (∆) qua (M'_1; , {M_1}'{M_2}) chính là hình chiếu vuông góc của (d) lên ((Oyz)).
Ta có: (overrightarrow{M'_{1}M_{2}}(0 ; -4 ; -6)) // (overrightarrow{v} (0 ; 2 ; 3)).
Phương trình (M'_1M_2) có dạng: (left{egin{matrix} x=0 & y=-3+2t&,t in R z=1+3t& end{matrix} ight.).
soanbailop6.com
