Bài 3 trang 90 SGK Hình học 12

Giải bài 3 trang 90 SGK Hình học 12. Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp.

Đề bài

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a) d: (left{egin{matrix} x=-3+2t & y=-2+3t& z=6+4t& end{matrix} ight.) và     d': (left{egin{matrix} x=5+t'& y=-1-4t'& z=20+t'& end{matrix} ight.) ;

b) d: (left{egin{matrix} x=1+t& y=2+t& z=3-t& end{matrix} ight.) và     d':  (left{egin{matrix} x=1+2t'& y=-1+2t'& z=2-2t'.& end{matrix} ight.)

Lời giải chi tiết

a)  Đường thẳng (d) đi qua (M_1( -3 ; -2 ; 6)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow{u_{1}}(2 ; 3 ; 4)).

Đường thẳng (d') đi qua (M_2( 5 ; -1 ; 20)) và có vectơ chỉ phương (overrightarrow{u_{2}}(1 ; -4 ; 1)).

Ta nhận thấy (overrightarrow{u_{1}}), (overrightarrow{u_{2}}) không cùng phương nên d và d' chỉ có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.

Ta có   (left [overrightarrow{u_{1}},overrightarrow{u_{2}} ight ] = (19 ; 2 ; -11)) ; (overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (8 ; 1 ; 14) )

và (left [overrightarrow{u_{1}},overrightarrow{u_{2}} ight ].overrightarrow{M_{1}M_{2}} = (19.8 + 2 - 11.14) = 0)

nên (d) và (d') cắt nhau.

Xét hệ phương trình:(left{egin{matrix} -3+2t=5+t' & (1) -2+3t=-1-4t' & (2) 6+4t=20+t'& (3) end{matrix} ight.)

Từ (1) với (3), trừ vế với vế ta có (2t = 6 => t = 3), thay vào (1) có (t' = -2), từ đó (d) và (d') có điểm chung duy nhất (M(3 ; 7 ; 18)). Do đó d và d' cắt nhau tại M.

b) Ta có : (overrightarrow{u_{1}}(1 ; 1 ; -1)) là vectơ chỉ phương của d và (overrightarrow{u_{2}}(2 ; 2 ; -2)) là vectơ chỉ phương của d' .

Ta thấy (overrightarrow{u_{1}}) và (overrightarrow{u_{2}}) cùng phương nên d và d' chỉ có thể song song hoặc trùng nhau.

Lấy điểm (M(1 ; 2 ; 3) ∈d) ta thấy (M otin d') nên (d) và (d') song song.

soanbailop6.com