Bài 8 trang 197 SBT Toán Hình học 10: Cho đường tròn (C) tâm I...

Cho đường tròn (C) tâm I(1 ; -2), bán kính R và điểm K(1 ; 3).

a) Cho R = 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua K;

b) Xác định R để từ K vẽ được đến (C) hai tiếp tuyến tiếp xúc với (C) lần lượt tại hai điểm ({M_1},{M_2}) sao cho diện tích tứ giác (K{M_1}I{M_2}) bằng (2sqrt 6 ).

Gợi ý làm bài

(Xem hình 3.31)

a) R = 1. Gọi (Delta ) là đường thẳng đi qua điểm K(1 ; 3) và có hệ số góc m. (Delta ) có phương trình y = m(x – 1) + 3

( Leftrightarrow mx – y + (3 – m) = 0.)

Ta có (Delta ) tiếp xúc vơi (C) ( Leftrightarrow d(I,Delta ) = R)

( Leftrightarrow {{left| {m + 2 + 3 – m} ight|} over {sqrt {{m^2} + 1} }} = 1 Leftrightarrow {5 over {sqrt {{m^2} + 1} }} = 1)

( Leftrightarrow {m^2} + 1 = 25)

( Leftrightarrow m =  pm 2sqrt 6 )

Vậy qua điểm K có hai tiếp tuyến với (C). Đó là : 

({Delta _1}:y = 2sqrt 6 left( {x – 1} ight) + 3) và ({Delta _2}:y =  – 2sqrt 6 left( {x – 1} ight) + 3.)

b) Ta có: (KI = sqrt {{{left( {1 – 1} ight)}^2} + {{left( {3 + 2} ight)}^2}}  = 5)

(K{M_2} = sqrt {K{I^2} – {R^2}}  = sqrt {25 – {R^2}} .)

Ta có : ({S_{K{M_1}I{M_2}}} = 2sqrt 6 )

( Leftrightarrow 2{S_{I{M_2}K}} = 2sqrt 6 )

( Leftrightarrow I{M_2}.K{M_2} = 2sqrt 6 )

( Leftrightarrow Rsqrt {25 – {R^2}}  = 2sqrt 6 )

( Leftrightarrow {R^2}left( {25 – {R^2}} ight) = 24)

(Leftrightarrow {R^4} – 25{R^2} + 24 = 0)

( Leftrightarrow left[ matrix{
{R^2} = 1 hfill cr
{R^2} = 24 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
R = 1 hfill cr
R = 2sqrt 6 hfill cr} ight.)

Vậy bán kính đường tròn bằng 1 hoặc (2sqrt 6 .)