Bài 8 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:...

Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) (fleft( x ight) = {x^2}left( {{{{x^3}} over {18}} – 1} ight);)                         

b) (fleft( x ight) = {1 over {{x^2}}}{mathop{ m s} olimits} { m{in}}{1 over x}cos {1 over x};) 

c) (fleft( x ight) = {x^3}{e^x};)                                     

d) (fleft( x ight) = {e^{sqrt {3x – 9} }}.)

Giải

a) Đặt (u = {{{x^3}} over {18}} – 1 Rightarrow du = {1 over 6}{x^2}dx Rightarrow {x^2}dx = 6du)   

Do đó (int {{x^2}{{left( {{{{x^3}} over {18}} – 1} ight)}^5}dx = int {6{u^5}du = {u^6}} }  + C = {left( {{{{x^3}} over {18}} – 1} ight)^6} + C) 

b) Đăt (u = sin {1 over x} Rightarrow du =  – {1 over {{x^2}}}cos {1 over 2}dx Rightarrow {1 over {{x^2}}}cos {1 over x}dx =  – du) 

( Rightarrow int {{1 over {{x^2}}}sin {1 over x}cos {1 over x}dx =  – int {udu =  – {{{u^2}} over 2} + C =  – {1 over 2}{{sin }^2}left( {{1 over x}} ight) + C} } ) 

c) Đặt

(left{ matrix{
u = {x^3} hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = 3{x^2}dx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight. Rightarrow I = int {{x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} – 3int {{x^2}{e^x}dx,,left( 1 ight)} } ) 

Tính ({I_1} = int {{x^2}} {e^x}dx)

Đặt 

(left{ matrix{
u = {x^2} hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = 2xdx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight. Rightarrow {I_1} = {x^2}{e^x} – 2int {x{e^x}dx,,,,left( 2 ight)} ) 

Tính ({I_2} = int {x{e^x}dx} )

Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight. Rightarrow {I_2} = x{e^x} – int {{e^x}dx = {e^x}left( {x – 1} ight) + C} )

Thay ({I_2}) vào (2) ta được: ({I_1} = {x^2}{e^x} – 2{e^x}left( {x – 1} ight) = {e^x}left( {{x^2} – 2x + 2} ight) + C)

Thay ({I_1}) vào (1) ta được : (I = {x^3}{e^x} – 3{e^x}left( {{x^2} – 2x + 2} ight) = {e^x}left( {{x^3} – 3{x^2} + 6x – 6} ight) + C)

d) Đặt (u = sqrt {3x – 9}  Rightarrow {u^2} = 3x – 9 Rightarrow 2udu = 3dx Rightarrow dx = {{2udu} over 3})

Do đó (int {{e^{sqrt {3x – 9} }}dx = {2 over 3}int {u{e^u}du = {2 over 3}{e^u}left( {u – 1} ight) + C} } ) (bài 6c)

( = {2 over 3}{e^{sqrt {3x – 9} }}left( {sqrt {3x – 9}  – 1} ight) + C)