Bài 6 Trang 145 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, Dùng phương pháp lấy số nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:...

Bài 6. Dùng phương pháp lấy số nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) (fleft( x ight) = xsin x{x over 2};)        b) (fleft( x ight) = {x^2}cos x;)

(c),fleft( x ight) = x{e^x};)               (d),fleft( x ight) = {x^3}ln x)

Giải

a) Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = sin {x over 2}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = – 2cos {x over 2} hfill cr} ight.)

Do đó (int {xsin x{x over 2}dx}  =  – 2xcos {x over 2} + 2int {cos {x over 2}dx =  – 2xcos {x over 2} + 4sin {x over 2} + C} )

b) Đặt 

(left{ matrix{
u = {x^2} hfill cr
dv = cos xdx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = 2xdx hfill cr
v = {mathop{ m s} olimits} { m{inx}} hfill cr} ight.)

Do đó (int {{x^2}} cos xdx = {x^2}{mathop{ m s} olimits} { m{inx}} – 2int {xsin xdx,,,,,,,left( 1 ight)} )

Tính (int {xsin xdx} )

Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = sin { m{x}}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = – cos x hfill cr} ight.)

 ( Rightarrow int {xsin xdx =  – xcos x + int {cos xdx =  – xcos x + {mathop{ m s} olimits} { m{inx}} + } } ,C)                             

Thay vào (1) ta được: (int {{x^2}cos xdx = {x^2}{mathop{ m s} olimits} { m{inx}} + 2xcos x – 2sin x + C} )

c) Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight.)

Do đó (int {x{e^x}dx = x{e^x} – int {{e^x}dx}  = x{e^x} – {e^x}}  + C) 

d) Đặt

(left{ matrix{
u = ln x hfill cr
dv = {x^3}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = {1 over x}dx hfill cr
v = {{{x^4}} over 4} hfill cr} ight.)

Do đó (int {{x^3}ln xdx = {1 over 4}{x^4}ln x}  – {1 over 4}int {{x^3}dx}  = {1 over 4}x^4ln x – {{{x^4}} over {16}} + C)