Bài 88 trang 130 SGK giải tích 12 nâng cao, Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng:...

Bài 88. Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng: 

({log _{b + c}}a + {log _{c – b}}a = 2{log _{b + c}}a.{log _{c – b}}a.) 

Giải

Ta có: ({log _{b + c}}a + {log _{c – b}}a = 2{log _{b + c}}a.{log _{c + b}}a.)

(eqalign{
& Leftrightarrow {1 over {{{log }_a}left( {b + c} ight)}} + {1 over {{{log }_a}left( {c – b} ight)}} = {2 over {{{log }_a}left( {b + c} ight).{{log }_a}left( {c – b} ight)}} cr
& Leftrightarrow {log _a}left( {c – b} ight) + {log _a}left( {b + c} ight) = 2 cr
& Leftrightarrow {log _a}left( {c – b} ight)left( {b + c} ight) = 2 cr
& Leftrightarrow {c^2} – {b^2} = {a^2} Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = {c^2} cr} ) 

Tam giác vuông cạnh huyền c, hai cạnh góc vuông a và b nên ta có ({a^2} + {b^2} = {c^2}) từ đó suy ra đpcm.