Bài 79 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao, Giải hệ phương trình :...

Bài 79. Giải hệ phương trình :

(a),left{ matrix{
{3.2^x} + {2.3^y} = 2,75 hfill cr
{2^x} – {3^y} = – 0,75,; hfill cr} ight.)

(b),,left{ matrix{
{log _5}x + {log _5}7.{log _7}y = 1 + {log _5}2 hfill cr
3 + {log _2}y = {log _2}5  left(1+ {3{{log }_5}x} ight) hfill cr} ight.)                                                   

 Giải

a) Đặt (u = {2^x},,v = {3^y},left( {u > 0,,v > 0} ight))

Ta có hệ phương trình: 

(left{ matrix{
3u + 2v = 2,75 hfill cr
u – v = – 0,75 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
u = {1 over 4} hfill cr
v = 1 hfill cr} ight.)

( Leftrightarrow left{ matrix{
{2^x} = {1 over 4} hfill cr
{3^y} = 1 hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
x = – 2 hfill cr
y = 0 hfill cr} ight.)                               

Vậy (S = left{ {left( { – 2;0} ight)} ight})

b) Điều kiện: (x > 0) và (y > 0). Khi đó ({log _5}y = {log _5}7.{log _7}y) và ({log _2}5.{log _5}x = {log _2}x) nên ta có thể biến đổi tương đương hệ đã cho thành:

(eqalign{
& ,left{ matrix{
{log _5}x + {log _5}y = 1 + {log _5}2 hfill cr
3 + {log _2}y = {log _2}5 + 3{log _2}x hfill cr} ight. Leftrightarrow left{ matrix{
{log _5}xy = {log _5}10 hfill cr
{log _2}8y = {log _2}5{x^3} hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
xy = 10,,,left( 1 ight) hfill cr
8y = 5{x^3},,left( 2 ight) hfill cr} ight. cr} )                   

Thay (y = {{5{x^3}} over 8}) vào (1) ta được: ({{5{x^4}} over 8} = 10 Leftrightarrow {x^4} = 16 Leftrightarrow x = 2) (vì (x > 0))

Với (x = 2) ta có (y = {{10} over x} = 5).

Vậy (S = left{ {left( {2;5} ight)} ight})