Bài 69 trang 124 SGK giải tích 12 nâng cao, Giải các phương trình sau:...

Bài 69. Giải các phương trình sau:

(eqalign{
& a),{log ^2}{x^3} – 20log sqrt x + 1 = 0 cr
& c),{log _{9x}}27 – {log _{3x}}243 = 0 cr} )      (b),{{{{log }_2}x} over {{{log }_4}2x}} = {{{{log }_8}4x} over {{{log }_{16}}8x}})

Giải

a) Điều kiện: (x> 0)

(eqalign{
& ,{log ^2}{x^3} – 20log sqrt x + 1 = 0 Leftrightarrow {left( {3log x} ight)^2} – 10log x + 1 = 0 cr
& Leftrightarrow 9{log ^2}x – 10log x + 1 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
log x = 1 hfill cr
log x = {1 over 9} hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 10 hfill cr
x = {10^{{1 over {9}}}} = oot 9 of {10} hfill cr} ight. cr} )

Vậy (S = left{ {10; oot 9 of {10} } ight})
b) (,{{{{log }_2}x} over {{{log }_4}2x}} = {{{{log }_8}4x} over {{{log }_{16}}8x}},,,,,left( 1 ight))
Điều kiện: (x > 0), (x e {1 over 2},,x e {1 over 8})
Ta có: ({log _4}2x = {{{{log }_2}2x} over {{{log }_2}4}} = {{1 + {{log }_2}x} over 2})

(eqalign{
& {log _8}4x = {{{{log }_2}4x} over {{{log }_2}8}} = {{2 + {{log }_2}x} over 3} cr
& {log _{16}}8x = {{{{log }_2}8x} over {{{log }_2}16}} = {{3 + {{log }_2}x} over 4} cr} )

Đặt (t = {log _2}x) thì (1) thành: ({{2t} over {1 + t}} = {{4left( {2 + t} ight)} over {3left( {3 + t} ight)}} Leftrightarrow 6tleft( {3 + t} ight) = 4left( {1 + t} ight)left( {2 + t} ight))

(eqalign{
& Leftrightarrow 18t + 6{t^2} = 8 + 12t + 4{t^2} Leftrightarrow 2{t^2} + 6t – 8 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = – 4 hfill cr} ight. cr
& left[ matrix{
{log _2}x = 1 hfill cr
{log _2}x = – 4 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 2 hfill cr
x = {2^{ – 4}} = {1 over {16}} hfill cr} ight. cr} )

Vậy (S = left{ {2;{1 over {16}}} ight})
c) Điều kiện: (x > 0); (x e {1 over 9},,x e {1 over 3})
Ta có: ({log _{9x}}27 – {log _{3x}}3 + {log _9}243 = 0 Leftrightarrow {1 over {{{log }_{27}}9x}} – {1 over {{{log }_3}3x}} + {log _{{3^2}}}{3^5} = 0)

(eqalign{
& Leftrightarrow {1 over {{{log }_{{3^3}}}9x}} – {1 over {1 + {{log }_3}x}} + {5 over 2} = 0 cr
& Leftrightarrow {3 over {{{log }_3}9x}} – {1 over {1 + {{log }_3}x}} + {5 over 2} = 0 cr
& Leftrightarrow {3 over {2 + {{log }_3}x}} – {1 over {1 + {{log }_3}x}} + {5 over 2} = 0 cr} )

Đặt ({log _3}x = t)
Ta có phương trình: ({3 over {t + 2}} – {1 over {t + 1}} + {5 over 2} = 0)

(eqalign{
& Leftrightarrow 6left( {t + 1} ight) – 2left( {t + 2} ight) + 5left( {t + 2} ight)left( {t + 1} ight) = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
t = – 0,8 hfill cr
t = – 3 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
{log _3}x = – 0,8 hfill cr
{log _3}x = – 3 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = {3^{ – 0,8}} hfill cr
x = {3^{ – 3}} hfill cr} ight. cr} )

Vậy (S = left{ {{3^{ – 3}};{3^{ – 0,8}}} ight})