Bài 76 trang 127 SGK giải tích 12 nâng cao, Giải phương trình:...

Bài 76. Giải phương trình:

(eqalign{
& a),{4^{ – {1 over x}}} + {6^{ – {1 over x}}} = {9^{ – {1 over x}}}; cr
& c),3sqrt {{{log }_2}x} – {log _2}8x + 1 = 0; cr} )

(eqalign{
& b),{4^{ln x + 1}} – {6^{ln x}} – {2.3^{ln {x^2} + 2}} = 0; cr
& d),log _{{1 over 2}}^2left( {4x} ight) + {log _2}{{{x^2}} over 8} = 8. cr} )                                  

Giải

a) Điều kiện: (x e 0)

Chia hai vế phương trình cho ({4^{ – {1 over x}}}) ta được: (1 + {left( {{3 over 2}} ight)^{ – {1 over x}}} = {left( {{9 over 4}} ight)^{ – {1 over x}}})

Đặt (t = {left( {{3 over 2}} ight)^{ – {1 over x}}},,left( {t > 0} ight)) ta có phương trình: 

({t^2} – t – 1 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = {{1 + sqrt 5 } over 2} hfill cr
t = {{1 – sqrt 5 } over 2},,left( ext{loại} ight) hfill cr} ight.) 

(eqalign{
& t = {{1 + sqrt 5 } over 2} Leftrightarrow {left( {{3 over 2}} ight)^{ – {1 over x}}} = {{1 + sqrt 5 } over 2} Leftrightarrow – {1 over x} = {log _{{3 over 2}}}{{1 + sqrt 5 } over 2} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow {1 over x} = {log _{{3 over 2}}}{left( {{{1 + sqrt 5 } over 2}} ight)^{ – 1}} = {log _{{3 over 2}}}left( {{{sqrt 5 – 1} over 2}} ight) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, Leftrightarrow x = {log _{{{sqrt 5 – 1} over 2}}}{3 over 2} cr} )

Vậy (S = left{ {{{log }_{{{sqrt 5  – 1} over 2}}}{3 over 2}} ight})

b) Điều kiện: (x > 0)

({4^{ln x + 1}} – {6^{ln x}} – {2.3^{ln {x^2} + 2}} = 0 Leftrightarrow {4.4^{ln x}} – {6^{ln x}} – {18.9^{ln x}} = 0)       

Chia hai vế của phương trình cho ({4^{ln x}}), ta được:

                   (4 – {left( {{3 over 2}} ight)^{ln x}} – 18{left( {{9 over 4}} ight)^{ln x}} = 0)

Đặt (t = {left( {{3 over 2}} ight)^{ln x}},,left( {t > 0} ight))

Ta có: 

(18{t^2} + t – 4 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = {4 over 9} hfill cr
t = – {1 over 2},left( ext{loại} ight) hfill cr} ight.)

(t = {4 over 9} Leftrightarrow {left( {{3 over 2}} ight)^{ln x}} = {left( {{3 over 2}} ight)^{ – 2}} Leftrightarrow ln x =  – 2 Leftrightarrow x = {e^{ – 2}})

Vậy (S = left{ {{e^{ – 2}}} ight})

c) Điều kiện: ({log _2}x ge 0 Leftrightarrow x ge 1)

Đặt (t = sqrt {{{log }_2}x} ,,left( {t ge 0} ight) Rightarrow {log _2}x = {t^2})       

(eqalign{
& 3sqrt {{{log }_2}x} , – {log _2}8x + 1 = 0 cr
& Leftrightarrow 3sqrt {{{log }_2}x} – 3-{log _2}x + 1 = 0 cr} )

Ta có phương trình: (3t – 2 – {t^2} = 0)                               

(eqalign{
& Leftrightarrow {t^2} – 3t + 2 = 0 cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = 2 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
sqrt {{{log }_2}x} = 1 hfill cr
sqrt {{{log }_2}x} = 2 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
{log _2}x = 1 hfill cr
{log _2}x = 4 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 2 hfill cr
x = {2^4} = 16 hfill cr} ight. cr} )

Vậy (S = left{ {2;16} ight})

d) Điều kiện: (x > 0). Với điều kiện ta có:                   

(eqalign{
& log _{{1 over 2}}^2left( {4x} ight) = {left( {log _{{1 over 2}}4 + log _{{1 over 2}}x} ight)^2} = left( { – 2 – {{log }_2}x} ight)^2 = {left( {2 + {{log }_2}x} ight)^2} cr
& {log _2}{{{x^2}} over 8} = {log _2}{x^2} – {log _2}8 = 2{log _2}x – 3 cr} )

Ta có phương trình: ({left( {{{log }_2}x + 2} ight)^2} + 2{log _2}x – 3 = 8)

Đặt (t = {log _2}x) ta được: ({left( {t + 2} ight)^2} + 2t – 11 = 0)     

(eqalign{
& {t^2} + 6t – 7 = 0 Leftrightarrow left[ matrix{
t = 1 hfill cr
t = – 7 hfill cr} ight. cr
& Leftrightarrow left[ matrix{
{log _2}x = 1 hfill cr
{log _2}x = – 7 hfill cr} ight. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 2 hfill cr
x = {2^{ – 7}} hfill cr} ight. cr} )              

Vậy (S = left{ {2;{2^{ – 7}}} ight})