Bài 53 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h. Gọi I là trung điểm của cạnh bên SC. Tính khoảng cách từ điểm S đến mặt phẳng (ABI).

Giải

Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc tọa độ là tâm O của đáy, tia Ox chứa OA, tia Oy chứa OB, tia Oz chứa OS.

Khi đó :

(eqalign{  & A = left( {{{asqrt 2 } over 2};0;0} ight),  cr  & B = left( {0;{{asqrt 2 } over 2};0} ight)  cr  & C = left( { - {{asqrt 2 } over 2};0;0} ight),  cr  & S = (0;0;h) cr} )

Rõ ràng giao điểm M của SO và AI chính là trọng tâm tam giác SAC nên

(Mleft( {0;0;{h over 3}} ight))

Mặt phẳng (ABI) cũng chính là mặt phẳng (ABM). Vậy (mpleft( {ABI} ight)) có phương trình là :

({x over {{{asqrt 2 } over 2}}} + {y over {{{asqrt 2 } over 2}}} + {z over {{h over 3}}} = 1.)

Do đó, khoảng cách từ S tới mặt phẳng (ABI) là :

(d = {{left| {{h over {{h over 3}}} - 1} ight|} over {sqrt {{{left( {{1 over {{{asqrt 2 } over 2}}}} ight)}^2} + {{left( {{1 over {{{asqrt 2 } over 2}}}} ight)}^2} + {{left( {{1 over {{h over 3}}}} ight)}^2}} }} = {2 over {sqrt {{2 over {{a^2}}} + {2 over {{a^2}}} + {9 over {{h^2}}}} }} )

(Rightarrow d = {{2ah} over {sqrt {4{h^2} + 9{a^2}} }}.)

Sachbaitap.com