Câu 2.97 trang 86 sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao

Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm duy nhất:

a) ({16^{x + 1}} + {4^{x - 1}} - 5m = 0;)                                        

b) (2{log _2}left( {x + 4} ight) = {log _2}left( {mx} ight).)   

Giải

a) Đặt ({4^x} = t(t > 0)). Bài toán trở thành:

Tìm m để phương trình (16{t^2} + {t over 4} - 5m = 0) (1) có  nghiệm dương duy nhất.            

Điều kiện để (1) có nghiệm là (Delta  = {1 over {16}} + 320m ge0) hay (mge  - {1 over {5120}}) . Lại có ({t_1} + {t_2} =  - {1 over {64}};{t_1}{t_2} =  - {{5m} over {16}}) .

Nên (1) có nghiệm duy nhất khi ( - {{5m} over {16}} < 0), tức là m > 0.

b) Bài toán quy về tìm m để hệ

                                (left{ matrix{{(x + 4)^2} = mx hfill cr x + 4 > 0 hfill cr}  ight.)                        

có nghiệm duy nhất

hay  

(left{ matrix{{x^2} + (8 - m)x + 16 = 0,,,,,,,,,,,left( 1 ight) hfill cr x >  - 4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,left( 2 ight) hfill cr}  ight.) có nghiệm duy nhất

tức là (1) có nghiệm duy nhất thỏa mãn (x >  - 4).

Phương trình (1) có nghiệm khi(Delta  = {m^2} - 16m ge 0) hay (m le 0) hoặc (m ge 16) .

Xét cả trường hợp :

+) (m = 0) thì (1) có nghiệm kép ({x_1} = {x_2} = {{0 - 8} over 2} =  - 4) ( không thỏa mãn (x >  - 4) ).

+) (m = 16) thì (1) có nghiệm kép ({x_1} = {x_2} = {{16 - 8} over 2} = 4) (  thỏa mãn (x >  - 4) ).

+) (m < 0) hoặc (m > 16) thì (1) có hai nghiệm phân biệt ({x_1},{x_2}({x_1} < {x_2})) .

Ta có : ({x_1} <  - 4 < {x_2} Leftrightarrow ({x_1} + 4)({x_2} + 4) < 0 )

(Leftrightarrow {x_1}{x_2} + 4({x_1} + {x_2}) + 16 < 0) .

Theo hệ thức . Vi-et ta có ({x_1}{x_2} = 16) và ({x_1} + {x_2} = m - 8).

Dẫn theo (16 + 4(m - 8) + 16 < 0 Leftrightarrow m < 0) .

Sachbaitap.com