Bài 52 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho hai điểm

Trong không gian Oxyz cho hai điểm ({M_1}({x_1};{y_1};{z_1}),{M_2}({x_2};{y_2};{z_2})) không nằm trên mặt phẳng (left( alpha  ight):Ax + By + Cz + D = 0.)

Tìm điều kiện cần và đủ để :

a) Đường thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight));

b) Đoạn thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight));

c) Đường thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight)) tại I sao cho M₁ nằm giữa I và M₂.

d) Đường thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight)) tại I sao cho M₂ nằm giữa I và M₁.

Giải

a) Đường thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight)) khi và chỉ khi (overrightarrow {{M_1}{M_2}} ) không vuông góc với (overrightarrow n left( {A,B,C} ight)) (overrightarrow n ) là vec tơ pháp tuyến của (left( alpha  ight)), tức là :

(eqalign{  & overrightarrow {{M_1}{M_2}} .overrightarrow n  = 0cr& Leftrightarrow A({x_2} - {x_1}) + B({y_2} - {y_1}) + C({z_2} - {z_1}) e 0  cr} )

b) Đoạn thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight)) khi và chỉ khi có một điểm I thuộc(left( alpha  ight)) và chia đoạn thẳng ({M_1}{M_2}) theo một tỉ số k<0. Gọi (left( {{x_0};{y_0};{z_0}} ight)) là tọa độ của điểm I, ta có :

({x_0} = {{{x_1} - k{x_2}} over {1 - k}},{x_0} = {{{y_1} - k{y_2}} over {1 - k}},{x_0} = {{{z_1} - k{z_2}} over {1 - k}})

Và (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0).

( Rightarrow Aleft( {{{{x_1} - k{x_2}} over {1 - k}}} ight) + Bleft( {{{{y_1} - k{y_2}} over {1 - k}}} ight) + Cleft( {{{{z_1} - k{z_2}} over {1 - k}}} ight) + D = 0)

Vì k < 0 nên điều kiện trên tương đương với điều kiện

c) ({M_1}) nằm giữa I và ({M_2}) ( Leftrightarrow I) chia đoạn ({M_1}{M_2}) theo tỉ số k mà 0< k <1.

Ta vẫn có điều kiện (left(  *  ight)), nhưng vì 0< k <1 nên điều kiện đó tương đương với điều kiện:

(0 < {{A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D} over {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D}} < 1.)

d) Tương tự như trên, ta có điều kiện :

(0 < {{A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} over {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D}} < 1.)

Chú ý : Từ kết quả trên ta suy ra kết luận sau:

Hai điểm ({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})) và ({M_2}({x_2};{y_2};{z_2})) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng (left( alpha  ight):Ax + By + Cz + D = 0.) khi và chỉ khi

Sachbaitap.com