27/04/2018, 18:29

Bài 52 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Trong không gian Oxyz cho hai điểm ...

Trong không gian Oxyz cho hai điểm

Trong không gian Oxyz cho hai điểm ({M_1}({x_1};{y_1};{z_1}),{M_2}({x_2};{y_2};{z_2})) không nằm trên mặt phẳng (left( alpha  ight):Ax + By + Cz + D = 0.)

Tìm điều kiện cần và đủ để :

a) Đường thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight));

b) Đoạn thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight));

c) Đường thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight)) tại I sao cho Mnằm giữa I và M2.

d) Đường thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight)) tại I sao cho M2 nằm giữa I và M1.

Giải

a) Đường thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight)) khi và chỉ khi (overrightarrow {{M_1}{M_2}} ) không vuông góc với (overrightarrow n left( {A,B,C} ight)) (overrightarrow n ) là vec tơ pháp tuyến của (left( alpha  ight)), tức là :

(eqalign{  & overrightarrow {{M_1}{M_2}} .overrightarrow n  = 0cr& Leftrightarrow A({x_2} - {x_1}) + B({y_2} - {y_1}) + C({z_2} - {z_1}) e 0  cr} )

b) Đoạn thẳng ({M_1}{M_2}) cắt (left( alpha  ight)) khi và chỉ khi có một điểm I thuộc(left( alpha  ight)) và chia đoạn thẳng ({M_1}{M_2}) theo một tỉ số k<0. Gọi (left( {{x_0};{y_0};{z_0}} ight)) là tọa độ của điểm I, ta có :

({x_0} = {{{x_1} - k{x_2}} over {1 - k}},{x_0} = {{{y_1} - k{y_2}} over {1 - k}},{x_0} = {{{z_1} - k{z_2}} over {1 - k}})

Và (A{x_0} + B{y_0} + C{z_0} + D = 0).

( Rightarrow Aleft( {{{{x_1} - k{x_2}} over {1 - k}}} ight) + Bleft( {{{{y_1} - k{y_2}} over {1 - k}}} ight) + Cleft( {{{{z_1} - k{z_2}} over {1 - k}}} ight) + D = 0)

Vì k < 0 nên điều kiện trên tương đương với điều kiện

c) ({M_1}) nằm giữa I và ({M_2}) ( Leftrightarrow I) chia đoạn ({M_1}{M_2}) theo tỉ số k mà 0< k <1.

Ta vẫn có điều kiện (left(  *  ight)), nhưng vì 0< k <1 nên điều kiện đó tương đương với điều kiện:

(0 < {{A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D} over {A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D}} < 1.)

d) Tương tự như trên, ta có điều kiện :

(0 < {{A{x_2} + B{y_2} + C{z_2} + D} over {A{x_1} + B{y_1} + C{z_1} + D}} < 1.)

Chú ý : Từ kết quả trên ta suy ra kết luận sau:

Hai điểm ({M_1}({x_1};{y_1};{z_1})) và ({M_2}({x_2};{y_2};{z_2})) nằm cùng một phía đối với mặt phẳng (left( alpha  ight):Ax + By + Cz + D = 0.) khi và chỉ khi

Sachbaitap.com

0