Bài 63 trang 124 SBT Toán Đại số 10: Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện...

Cho a, b, c là ba số thực thỏa mãn điều kiện ({a^3} > 36) và abc = 1

Xét tam thức bậc hai (f(x) = {x^2} – { m{a}}x – 3ac + {{{a^2}} over 3})

a) Chứng minh rằng (f(x) > 0,forall x);

b) Từ câu a) suy ra ({{{a^2}} over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca.)

Gợi ý làm bài

a) f(x) có

(eqalign{
& Delta = {a^2} – 4( – 3bc + {{{a^2}} over 3}) = {{ – {a^2}} over 3} + 12bc cr
& = {{ – {a^2}} over 3} + {{12abc} over a} = {{ – {a^2}} over 3} + {{12} over a} cr} )

( = {{36 – {a^3}} over {3a}} < 0) (do giả thiết ({a^3} > 36))

=> (f(x) > 0,forall x)

b) ({{{a^2}} over 3} + {b^2} + {c^2} > ab + bc + ca)

( Leftrightarrow {{{a^2}} over 3} + {(b + c)^2} – 2bc > bc + a(b + c))

( Leftrightarrow {(b + c)^2} – a(b + c) – 3bc + {{{a^2}} over 3} > 0)

( Leftrightarrow f(b + c) > 0) đúng vì (f(x) > 0,forall x.)