Bài 60 sách giải tích 12 nâng cao trang 117, a) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số đối xứng với nhau qua trục tung...

Bài 60

a) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số (y = {a^x};,y = {left( {{1 over a}} ight)^x}) đối xứng với nhau qua trục tung.
b) Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số (y = {log _a}x;,,y = {log _{{1 over a}}}x) đối xứng với nhau qua trục hoành.

Giải

a) Gọi (left( {{G_1}} ight)) và (left( {{G_2}} ight)) lần lượt là đồ thị củ hàm số (y = {a^x};,y = {left( {{1 over a}} ight)^x}), (Mleft( {{x_o},{y_o}} ight)) là một điểm bất kì. Khi đó điểm đối xứng với M qua trục tung là (M’left( { – {x_o},{y_o}} ight)).

Ta có: (M in left( {{G_1}} ight) Leftrightarrow {y_o} = {a^{{x_o}}} Leftrightarrow {y_o}={left( {{1 over a}} ight)^{ – {x_o}}} Leftrightarrow M’ in left( {{G_2}} ight))
Điều đó chứng tỏ (left( {{G_1}} ight)) và (left( {{G_2}} ight)) đối xứng với nhau qua trục tung.
b) Gọi (left( {{G_1}} ight)) và (left( {{G_2}} ight)) lần lượt là đồ thị củ hàm số (y = {log _a}x;,,y = {log _{{1 over a}}}x)
Lấy (Mleft( {{x_o},{y_o}} ight)) tùy ý. Điểm đối xứng với M qua trục hoành là (M’left( {{x_o}, – {y_o}} ight)).
Ta có: (M in left( {{G_1}} ight) Leftrightarrow {y_o} = {log _a}{x_o} =  – {log _{{1 over a}}}{x_o} Leftrightarrow  – {y_o} = {log _{{1 over a}}}{x_o} Leftrightarrow M’ in left( {{G_2}} ight))
Vậy (left( {{G_1}} ight)) và (left( {{G_2}} ight)) đối xứng với nhau qua trục hoành.