Bài 53 trang 12 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình chóp tam giác S.ABC

Cho hình chóp tam giác S.ABC và M là một điểm nằm trong tam giác ABC. Các đường thẳng qua M song song với SA, SB, SC lần lượt cắt các mặt (left( {BCS} ight),left( {CAS} ight),left( {ABS} ight)) tại A’, B’, C’. Chứng minh rằng :

a)({{{V_{M.BCS}}} over {{V_{S.ABC}}}} = {{MA'} over {SA}};)

b)({{MA'} over {SA}} + {{MB'} over {SB}} + {{MC'} over {SC}}) không đổi. Tìm tổng đó.

Giải

(h.37)

a) Gọi N là giao điểm của MA và BC. Khi đó S, A’, N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng (left( {SBC} ight)) và (left( {SA,A'M} ight)).

 

Gọi MM₁ và AA₁ là các đường vuông góc hạ từ M và A xuống (mpleft( {SBC} ight)) thì :

({{M{M_1}} over {A{A_1}}} = {{MN} over {AN}} = {{MA'} over {SA}}.)

Vậy ({{{V_{M.BCS}}} over {{V_{S.ABC}}}} = {{{V_{M.BCS}}} over {{V_{A.BCS}}}} = {{{1 over 3}{S_{BCS}}.M{M_1}} over {{1 over 3}{S_{BCS}}A{A_1}}} = {{M{M_1}} over {A{A_1}}} = {{MA'} over {SA}})

b) Chứng minh tương tự như câu a), ta có :

({{{V_{M.CAS}}} over {{V_{S.ABC}}}} = {{MB'} over {SB}},{{{V_{M.ABS}}} over {{V_{S.ABC}}}} = {{MC'} over {SC}}.)

Vậy :

({{MA'} over {SA}} + {{MB'} over {SB}} + {{MC'} over {SC}} = {{{V_{M.BCS}} + {V_{M.CAS}} + {V_{M.ABS}}} over {{V_{S.ABC}}}} )

(= {{{V_{S.ABC}}} over {{V_{S.ABC}}}} = 1.)

Sachbaitap.com