Bài 40 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Tính thể tích khối tứ diện ABCD

Tính thể tích khối tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau :

(AB=CD=a, AC=BD=b,AD=BC=c).

Giải

(h.25)

 

Dựng tứ diện APQR sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của các cạnh QR, RP, PQ.

Ta có (AD = BC = {1 over 2}PQ) mà D là trung điểm của PQ nên (AQ ot { m{AP}}{ m{.}})

Chứng minh tương tự, ta cũng có (AQ ot { m{AR}},{ m{AR}} ot AP.)

Dễ thấy :

({V_{ABCD}} = {1 over 4}{V_{APQR}} = {1 over 4}.{1 over 6}.AP.AQ.{ m{AR}}( * ))

Xét các tam giác vuông (APQ,AQR,ARP,) ta có

(A{P^2} + A{Q^2} = 4{c^2},)

(A{Q^2} + { m{A}}{{ m{R}}^2} = 4{a^2},)

({ m{A}}{{ m{R}}^2} + A{P^2} = 4{b^2}.)

Từ đó suy ra :

(eqalign{  & AP = sqrt 2 .sqrt { - {a^2} + {b^2} + {c^2}} ,cr&AQ = sqrt 2 sqrt {{a^2} - {b^2} + {c^2}} ,  cr  & { m{A}}{{ m{R}}} = sqrt 2 sqrt {{a^2} + {b^2} - {c^2}} . cr} )

Vậy từ (left(  *  ight)) ta suy ra :

Sachbaitap.com