Bài 35 trang 10 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao
Cho khối chóp tứ giác đều ...
Cho khối chóp tứ giác đều
Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến (mpleft( {SBC} ight)) bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của khối chóp là nhỏ nhất ?
Giải
(h.19)
Giả sử O là tâm của hình vuông ABCD. Khi đó (SO ot left( {ABCD} ight)), Gọi EH là đường trung bình của hình vuông ABCD (left( {E in AD,H in BC} ight).) Vì (AD//BC) nên (AD//left( {SBC} ight)), do đó
(dleft( {A,left( {SBC} ight)} ight) = dleft( {E,left( {SBC} ight)} ight).)
Kẻ (EK ot SH). Dễ thấy (EK ot left( {SBC} ight)) suy ra
(EK = dleft( {A,left( {SBC} ight)} ight) = 2a.)
Ta có : (BC ot SH,BC ot OH Rightarrow )(widehat {SHO}) là góc giữa mặt bên (left( {SBC} ight)) và mặt phẳng đáy. Đặt (widehat {SHO} =xleft( {0 < x < {pi over 2}} ight)). Khi đó :
(EH = {{2a} over {{mathop{ m sinx} olimits} }};;OH = {a over {{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}}};;SO = {a over {{mathop{ m s} olimits} { m{inx}}}}{mathop{ m tanx} olimits} = {a over {{mathop{ m cosx} olimits} }})
Vậy: ({V_{S.ABCD}} = {1 over 3}{S_{ABCD}}.SO = {{4{a^3}} over {3cos x{{sin }^2}x}})
Từ đó ({V_{S.ABCD}}) nhỏ nhất khi và chỉ khi (yleft( x ight) = cos x.{sin ^2}x) đạt giá trị lớn nhất. Ta có:
(eqalign{
y'left( x
ight) &= - {sin ^3}x + 2sin x.{cos ^2}x cr
& = sin xleft( {2{{cos }^2}x - {{sin }^2}x}
ight) cr
& = sin xleft( {2 - 3{{sin }^2}x}
ight) cr
& = 3sin xleft( {sqrt {{2 over 3}} - sin x}
ight)left( {sqrt {{2 over 3}} + sin x}
ight) cr} )
Vì (0 < x < {pi over 2}) nên (sin xleft( {sqrt {{2 over 3}} + sin x} ight) > 0)
Gọi (alpha ) là góc sao cho (sin alpha = sqrt {{2 over 3}} ;,,0 < alpha < {pi over 2})
Ta có bảng biến thiên của hàm số (yleft( x ight) = cos x.{sin ^2}x):
Vậy ({V_{S.ABCD}}) đạt giá trị lớn nhất khi (x = alpha ) với (0 < alpha < {pi over 2}) và (sin x = sqrt {{2 over 3}} .)
Sachbaitap.com
