Bài 49 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’

Cho khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi K là trung điểm của DD’. Tính khoảng cách giữa CK và A’D.

Giải

(h.34)

Gọi M là trung điểm của BB’.

Ta có (A'M//KC) nên

(eqalign{  & dleft( {CK,A'D} ight) = dleft( {CK,left( {A'MD} ight)} ight)  cr  &  = dleft( {K,left( {A'MD} ight)} ight). cr} )

Đặt (dleft( {CK,A'D} ight) = x.) Ta có

({V_{A'.MDK}} = {V_{K.A'MD}} = {1 over 3}{S_{A'MD}}.x;;;(1))

Mặt khác

({V_{A'.MDK}} = {V_{M.A'DK}})

( = {1 over 3}{S_{A'DK}}.dleft( {M,left( {A'DK} ight)} ight))

(= {1 over 3}left( {{1 over 2}a.{1 over 2}a} ight).a = {{{a^3}} over {12}};;;;;;;;;;;;;;;;;;;;(2))

Từ (1) và (2) suy ra : ({S_{A'MD}}.x = {{{a^3}} over 4}.)

Hạ

(eqalign{  & DI ot A'M Rightarrow AI ot A'M  cr  &  Rightarrow AI.A'M = AA'.dleft( {M,AA'} ight) = {a^2} cr&Rightarrow AI = {{2a} over {sqrt 5 }}  cr  &  Rightarrow D{I^2} = D{A^2} + A{I^2} = {a^2} + {{4{a^2}} over 5} = {{9{a^2}} over 5}cr& Rightarrow DI = {{3a} over {sqrt 5 }}.  cr  &  cr} )

Vậy ({S_{A'MD}} = {1 over 2}DI.A'M = {1 over 2}.{{3a} over {sqrt 5 }}.{{asqrt 5 } over 2} = {{3{a^2}} over 4}.)

Từ (3) và (4) suy ra (x = {a over 3}.)

Sachbaitap.com