Bài 50 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tứ diện ABCD có điểm O

Cho tứ diện ABCD có điểm O nằm trong tứ diện và cách đều các mặt của tứ diện một khoảng cách r. Gọi ({h_A},{h_B},{h_C},{h_D}) lần lượt là khoảng cách từ các điểm A, B, C, D đến các mặt đối diện. Chứng minh rằng :

({1 over r} = {1 over {{h_A}}} + {1 over {{h_B}}} + {1 over {{h_C}}} + {1 over {{h_D}}}.)

Giải

(h.35)

 

Khối tứ diện ABCD được phân chia thành bốn khối tứ diện OBCD, OCAD, OABD, OABC. Từ đó dễ thấy rằng :

(eqalign{  & {{{V_{O.BCD}}} over {{V_{ABCD}}}} = {r over {{h_A}}},{{{V_{O.CAD}}} over {{V_{ABCD}}}} = {r over {{h_B}}},  cr  & {{{V_{O.ABD}}} over {{V_{ABCD}}}} = {r over {{h_C}}},{{{V_{O.ABC}}} over {{V_{ABCD}}}} = {r over {{h_D}}}. cr} )

Suy ra :

(eqalign{  & {{{V_{O.BCD}} + {V_{O.CAD}} + {V_{O.ABD}} + {V_{O.ABC}}} over {{V_{ABCD}}}}cr& = rleft( {{1 over {{h_A}}} + {1 over {{h_B}}} + {1 over {{h_C}}} + {1 over {{h_D}}}} ight)  cr  &  Rightarrow {{{V_{ABCD}}} over {{V_{ABCD}}}} = rleft( {{1 over {{h_A}}} + {1 over {{h_B}}} + {1 over {{h_C}}} + {1 over {{h_D}}}} ight)  cr  &  Rightarrow {1 over r} = {1 over {{h_A}}} + {1 over {{h_B}}} + {1 over {{h_C}}} + {1 over {{h_D}}}. cr} )

Sachbaitap.com