Bài 5.9 trang 220 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12: Cho hàm số...

Cho hàm số    (y = {1 over 3}{x^3} – (m – 1){x^2} + (m – 3)x + 4{1 over 2})      (m là tham số)                (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.

b) Viết phương trình của tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm (A(0;4{1 over 2}))

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) , trục hoành và các đường thẳng x = 0 và x = 2.

d) Xác định m để đồ thị của (1) cắt đường thẳng (y =  – 3x + 4{1 over 2}) tại ba điểm phân biệt.

Hướng dẫn làm bài:

a) (y = {1 over 3}{x^3} + {x^2} – 3x + 4{1 over 2})

+) Tập xác định: D = R

+) Sự biến thiên: y’ = x² + 2x – 3

(y’ = 0Leftrightarrow left[ {matrix{{x = 1} cr {x = – 3} cr} } ight.)           

Bảng biến thiên:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; -3) và (1; +∞), nghịch biến trên khoảng (-3; 1).

Hàm số đạt cực đại tại (x =  – 3;{y_{CD}} = 13{1 over 2};{y_{CT}} = 2{5 over 6}) khi x = 1

Đồ thị cắt trục tung tại điểm ((0;4{1 over 2})) và có dạng như hình dưới đây.

(y’’ = 2x + 2 ; y’’ = 0 Leftrightarrow  x = -1.) Vậy là tâm đối xứng của đồ thị.

b) Tiếp tuyến với (C) đi qua (A(0;4{1 over 2})) có phương trình là:(y = f'(0)x + 4{1 over 2}), trong đó (f(x) = {1 over 3}{x^3} + {x^2} – 3x + 4{1 over 2})

Ta có   f ’(0) = -3.

Vậy phương trình tiếp tuyến là (y =  – 3x + 4{1 over 2})

c) (S = intlimits_0^2 {({1 over 3}{x^3} + {x^2} – 3x + 4{1 over 2})dx = 7} ) (đơn vị diện tích).

d) Hoành độ giao điểm của đường thẳng (y =  – 3x + 4{1 over 2}) với đồ thị của (1) thỏa mãn phương trình

  ({1 over 3}{x^3} – (m – 1){x^2} + (m – 3)x + 4{1 over 2} =  – 3x + 4{1 over 2})       (2)

Ta có  ((2)Leftrightarrow {1 over 3}{x^3} – (m – 1){x^2} + mx = 0)

(Leftrightarrow  x{ m{[}}{x^2} – 3(m – 1)x + 3m] = 0)

Để (2) có ba nghiệm phân biệt thì phương trình f(x) = x²– 3(m – 1)x  + 3m = 0 phải có hai nghiệm phân biệt khác 0, tức là: 

(left{ {matrix{{f(0) = 3m e 0} cr {Delta = 9{{(m – 1)}^2} – 12m > 0} cr} } ight.Leftrightarrow  left{ {matrix{{m e 0} cr {left[ {matrix{{m < {1 over 3},m e 0} cr {m > 3} cr} } ight.} cr} } ight.).