Bài 5.23 trang 223 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12: Chứng minh rằng:...

Chứng minh rằng:

a) (i + {i^2} + {i^3} + … + {i^{99}} + {i^{100}} = 0)                 

b) ({{(sqrt 2  + i)(1 – i)(1 + i)} over i} = 2 – 2sqrt 2 i)

Hướng dẫn làm bài

a) Biến đổi vế trái bằng cách nhóm từng bốn số hạng và đặt thừa số chung, ta được

(i(1 + i + {i^2} + {i^3}) + … + {i^{97}}(1 + i + {i^2} + {i^3}))

(= (1 + i + {i^2} + {i^3})(i + … + {i^{97}}) = 0),

Vì (1 + i + {i^2} + {i^3} = 1 + i – 1 – i = 0)

b) Ta có

({{(sqrt 2  + i)(1 – i)(1 + i)} over i} )

(= {{2(sqrt 2  + i)i} over { – 1}})

(=  – (2sqrt 2 i + 2{i^2}) = 2 – 2sqrt 2 i)