Bài 5.19 trang 222 sách bài tập (SBT) – Giải tích 12: Tính các tích phân sau:...

Tính các tích phân sau:

a) (intlimits_{ – 2}^4 {{{({{x – 2} over {x + 3}})}^2}dx} ) (đặt t  = x  +3)    

b) (intlimits_{ – 4}^6 {(|x + 3| – |x – 4|)dx} )

c) (intlimits_{ – 3}^2 {{{dx} over {sqrt {x + 7}  + 3}}} )    (đặt (t = sqrt {x + 7} )  hoặc (t = sqrt {x + 7}  + 3) )

d) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {{{cos x} over {1 + 4sin x}}} dx)                    

e)(intlimits_1^2 {{{{x^9}} over {{x^{10}} + 4{x^5} + 4}}dx} )   (đặt t = x⁵)

g) (intlimits_0^3 {(x + 2){e^{2x}}dx} )                                           

h) (intlimits_2^5 {{{sqrt {4 + x} } over x}dx} ) (đặt (t = sqrt {4 + x} ) )

Hướng dẫn làm bài:

a) Đổi biến ( t = x + 3  Rightarrow  x – 2 = t – 5) . Khi x = – 2 thì t = 1, khi x = 4 thì t = 7, ta có:

(intlimits_{ – 2}^4 {{{({{x – 2} over {x + 3}})}^2}dx = intlimits_1^7 {(1 – {{10} over t} + {{25} over {{t^2}}}} } )dt)

(= (t – 10ln t – {{25} over t})left| {matrix{7 cr 1 cr} } ight. = 27{3 over 7} – 10ln 7)

b)(intlimits_{ – 4}^6 {(|x + 3| – |x – 4|)dx})

( =  – 7intlimits_{ – 4}^{ – 3} {dx}  + intlimits_{ – 3}^4 {(2x – 1)dx}  + intlimits_4^6 {7dx}  = 7)

c) Đổi biến (t = sqrt {x + 7} )  , ta có (I = intlimits_2^3 {{{2tdt} over {t + 3}}}  = 2 – 6ln 1,2)

Nếu đổi biến (t = sqrt {x + 7}  + 3)  thì ta có (I = intlimits_5^6 {(2 – {6 over t})dt} )

d) Đổi biến (t = 1 + 4sin x)  , ta có (I = {1 over 4}intlimits_1^5 {{{dt} over t}}  = {1 over 4}ln 5)

e) Đổi biến (t = {x^5})

(eqalign{
& I = {1 over 5}intlimits_1^{32} {{{tdt} over {{t^2} + 4t + 4}}} cr
& = {1 over 5}intlimits_1^{32} {{{(t + 2 – 2)dt} over {{{(t + 2)}^2}}}} cr
& = {1 over 5}intlimits_1^{32} {{ m{[}}{1 over {t + 2}} – {2 over {{{(t + 2)}^2}}}{ m{]}}dt} cr
& = {1 over 5}left[ {ln (t + 2) + {2 over {t + 2}}} ight]left| {matrix{{32} cr 1 cr} = {1 over 5}(ln {{34}over 3} – {{31} over {51}})} ight. cr} )

g) Đặt   (u = x + 2,dv = {e^{2x}}dx Rightarrow du = dx,v = {1 over 2}{e^{2x}})

Ta có  (I = {1 over 2}(x + 2){e^{2x}}left| {matrix{3 cr 0 cr} } ight. – {1 over 2}intlimits_0^3 {{e^{2x}}} dx)

(= {1 over 2}(5{e^6} – 2) – {1 over 4}({e^6} – 1) = {3 over 4}(3{e^6} – 1))

h) Đổi biến  (t = sqrt {4 + x} )

(I = 2intlimits_{sqrt 6 }^3 {(1 + {1 over {t – 2}} – {1 over {t + 2}})dt})

(= 2(t + ln {{t – 2} over {t + 2}})left| {matrix{3 cr {sqrt 6 } cr} } ight. )

(= 2[3 – sqrt 6 – ln (25 – 10sqrt 6 ){ m{]}})