Bài 5.20 trang 222 sách bài tập – Giải tích 12: Tính:...

Tính:

a) (intlimits_{ – 1}^2 {(5{x^2} – x + {e^{0,5x}})dx} )     

b) (intlimits_{0,5}^2 {(2sqrt x  – {3 over {{x^3}}} + cos x)dx} )

c) (intlimits_1^2 {{{dx} over {sqrt {2x + 3} }}} )   (đặt (t = sqrt {2x + 3} ) )     

d) (intlimits_1^2 { oot 3 of {3{x^3} + 4} {x^2}dx} )  (đặt (t = oot 3 of {3{x^3} + 4} ))

e) (intlimits_{ – 2}^2 {(x – 2)|x|dx} )

g) (intlimits_1^0 {xcos xdx} )                                       

h)(intlimits_{{pi  over 6}}^{{pi  over 2}} {{{1 + sin 2x + cos 2x} over {sin x + cos x}}} dx)

i) (intlimits_0^{{pi  over 2}} {{e^x}sin xdx} )                                   

k) (intlimits_1^e {{x^2}{{ln }^2}xdx} )

Hướng dẫn làm bài

a) Đáp số: (13{1 over 2} + 2(e – {1 over {sqrt e }}))

b) Đáp số: ({{7sqrt 2 } over 3} – 5{5 over 8} + sin 2 – sin {1 over 2})

c) Đáp số: (sqrt 7  – sqrt 5 )

d) Đổi biến  (t = oot 3 of {3{x^3} + 4} )

(Rightarrow {t^3} = 3{x^3} + 4 Rightarrow 3{t^2}dt = 9{x^2}dx Rightarrow {x^2}dx = {1 over 3}{t^2}dt)

Ta có 

(eqalign{
& intlimits_1^2 { oot 3 of {3{x^3} + 4} } {x^2}dx = {1 over 3}intlimits_{ oot 3 of 7 }^{ oot 3 of {28} } {{t^3}dt} cr & = {1 over {12}}{t^4}left| {matrix{{ oot 3 of {28} } cr { oot 3 of 7 } cr} } ight. = {{7 oot 3 of 7 (4 oot 3 of 4 – 1)} over {12}} cr} )

e) 

(eqalign{
& intlimits_{ – 2}^2 {(x – 2)|x|dx} cr
& = intlimits_{ – 2}^0 {(2x – {x^2})dx + intlimits_0^2 {({x^2} – 2x)dx} } cr
& = – {{20} over 3} – {4 over 3} = – 8 cr} )

g) 

(eqalign{& intlimits_1^0 {xcos xdx = xsin xleft| {matrix{0 cr 1 cr} } ight.} – intlimits_1^0 {sin xdx} cr & = – sin 1 + cos xleft| {matrix{0 cr 1 cr} } ight. = 1 – (sin 1 + cos 1) cr} )

h) Ta có:  

(eqalign{
& 1 + sin 2x + cos 2x cr
& = 1 + 2sin xcos x + 2{cos ^2}x – 1 cr
& = 2cos x(sin x + cos x) cr} )

Từ đó, ta có đáp số là 1.

i) Áp dụng phương pháp tính tích phân từng phần hai lần, cả hai lần đều đặt ({e^x}dx = dv Rightarrow v = {e^x}) . Ta có:

(eqalign{& I = intlimits_0^{{pi over 2}} {{e^x}sin xdx} = {e^x}sin xleft| {matrix{{{pi over 2}} cr 0 cr} } ight. – intlimits_0^{{pi over 2}} {{e^x}cos xdx} cr & = {e^{{pi over 2}}} – left[ {{e^x}cos xleft| {matrix{{{pi over 2}} cr 0 cr} + intlimits_0^{{pi over 2}} {{e^x}sin xdx} } ight.} ight] cr & = {e^{{pi over 2}}} + 1 – I cr & Rightarrow I = {{{e^{{pi over 2}}} + 1} over 2} cr} )

k) Lấy tích phân theo phương pháp tính tích phân từng phầ;n hai lần: lần thứ nhất  đặt (u = {ln ^2}x) , lần thứ hai đặt  (u = ln x) và có đáp số là ({1 over {27}}(5{e^3} – 2)).