Bài 5.18 trang 222 sách bài tập – Giải tích 12: Giải các bất phương trình sau:...

Giải các bất phương trình sau:

a) ({(0,5)^{{1 over x}}} ge 0,0625)                 

b) ({log _{0,2}}({x^2} – 4) ge  – 1)

c) ({log _2}{log _{0,5}}({2^x} – {{15} over {16}}) le 2)       

d) ({log _3}({16^x} – {2.12^x}) le 2x + 1)

Hướng dẫn làm bài:

a) Bất phương trình đã cho tương đương với

({({1 over 2})^{{1 over x}}} ge {1 over {16}} Leftrightarrow  {({1 over 2})^{{1 over x}}} ge {({1 over 2})^4})

(Leftrightarrow  {1 over x} le 4 Leftrightarrow  {1 over x} – 4 le 0 Leftrightarrow  {{1 – 4x} over x} le 0 Leftrightarrow  left[ {matrix{{x ge {1 over 4}} cr {x < 0} cr} } ight.)

b) Điều kiện:  (left[ {matrix{{x > 2} cr {x < – 2} cr} } ight.)

Bất phương trình đã cho tương đương với

({log _{0,2}}({x^2} – 4) ge {log _{0,2}}0,{2^{ – 1}} = {log _{0,2}}5)

( Leftrightarrow {x^2} – 4 le 5) (vì 0,2 < 1)  ( Leftrightarrow {x^2} – 9 le 0 Leftrightarrow  – 3 le x le 3)

Kết hợp với điều kiện, ta được  (left[ {matrix{{2 < x le 3} cr { – 3 le x < – 2} cr} } ight.)

c) Bất phương trình đã cho tương đương với  (0 < {log _{0,5}}({2^x} – {{15} over {16}}) le 4)

( Leftrightarrow  1 > {2^x} – {{15} over {16}} ge 0,{5^4})

(Leftrightarrow {{31} over {16}} > {2^x} ge 1)

(Leftrightarrow  {log _2}{{31} over {16}} > x ge 0)

( Leftrightarrow 0 le x < {log _2}31 – 4)

 Ở đây, chúng ta đã áp dụng tính đồng biến và nghịch biến của các hàm số logarit và hàm số mũ với cơ số lớn hơn 1 và nhỏ hơn 1.

d) Bất phương trình đã cho tương đương với  (0 < {16^x} – {2.12^x} le {3^{2x + 1}})

(Leftrightarrow  0 < {4^x}{.4^x} – {2.4^x}{.3^x} le {3^x}{.3^x}.3)

(Leftrightarrow 0 < {({4 over 3})^{2x}} – 2{({4 over 3})^x} le 3)                (1)

(Ta đã chia cả hai vế cho ({9^x};left( {{9^x} > { m{ }}0{ m{ }}} ight)))

Đặt ({({4 over 3})^x} = t(t > 0)) , ta có hệ bất phương trình:

(left{ {matrix{{{t^2} – 2t le 3} cr {{t^2} – 2t > 0} cr {t > 0} cr} } ight.)

(Leftrightarrow  left{ {matrix{{t > 0} cr {{t^2} – 2t – 3 le 0} cr {{t^2} – 2t > 0} cr} } ight.)

(Leftrightarrow  left{ {matrix{{t > 0} cr { – 1 le t le 3} cr {left[ {matrix{{t > 2} cr {t < 0} cr} } ight.} cr} } ight. Leftrightarrow  2 < t le 3)

Từ đó, ta có  (2 < {({4 over 3})^x} le 3 <  =  > {log _{{4 over 3}}}2 < x le {log _{{4 over 3}}}3).

6