Bài 49 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), A’(0;0;b) với a, b là những số dương và M là trung điểm của CC’.

a) Tính thể tích của tứ diện BDA’M.

b) Tìm tỉ số ({a over b}) để mp(A’BD) vuông góc với mp(MBD).

Giải

a)

Từ giả thiết ta có C=(a;a;0).

(C' = (a;a;b) Rightarrow M = left( {a;a;{b over 2}} ight))

Ta có (overrightarrow {BD}  = left( { - a;a;0} ight);)

(overrightarrow {BM}  = left( {0;a;{b over 2}} ight);,,overrightarrow {BA'}  = left( { - a;0;b} ight))

( Rightarrow left( {left[ {overrightarrow {BD} ,overrightarrow {BM} } ight]} ight) = left( {{{ab} over 2};{{ab} over 2}; - {a^2}} ight))

Vậy ({V_{BDA'M}} = {1 over 6}left| {left[ {overrightarrow {BD} ,overrightarrow {BM} } ight].overrightarrow {BA'} } ight| = {{{a^2}b} over 4}.)

b) Mặt phẳng (A’BD) có vec tơ pháp tuyến

(overrightarrow {{n_1}}  = left[ {overrightarrow {BD} ,overrightarrow {BA'} } ight] = (ab;ab;{a^2}).)

Mặt phẳng (MBD) có vectơ pháp tuyến

(overrightarrow {{n_2}}  = left[ {overrightarrow {BD} ,overrightarrow {BM} } ight] = ({{ab} over 2};{{ab} over 2}; - {a^2}).)

Vì vậy

(eqalign{  & left( {MBD} ight) ot (A'BD) Leftrightarrow overrightarrow {{n_1}} .overrightarrow {{n_2}}  = 0  cr  &  Leftrightarrow {{{a^2}{b^2}} over 2} + {{{a^2}{b^2}} over 2} - {a^4} = 0  cr  &  Leftrightarrow {a^2}{b^2} = {a^4} Leftrightarrow {a^2} = {b^2} Leftrightarrow a = b Leftrightarrow {a over b} = 1.  cr  &  cr} )

(do (a > 0,b > 0).)

Sachbaitap.com