Bài 48 trang 11 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Bốn đường thẳng

Bốn đường thẳng ({Delta _1},{Delta _2},{Delta _3},{Delta _4}) đôi một song song và không có ba đường thẳng nào trên cùng một mặt phẳng. Một mặt phẳng (left( P ight)) cắt chúng theo thứ tự tại A, B, C, D. Một mặt phẳng (left( {P'} ight)) cắt chúng theo thứ tự A’, B’, C’, D’. Chứng minh hai khối tứ diện D’ABC và DA’B’C’ có thể tích bằng nhau.

Giải

(h.33)

 

Gọi (O = AC cap BD,O' = A'C' cap B'D'.)

Do (DD'//OO') nên dễ thấy

({{dleft( {D',left( {ABC} ight)} ight)} over {dleft( {O',left( {ABC} ight)} ight)}} = {{DD'} over {OO'}},{{dleft( {D,left( {A'B'C'} ight)} ight)} over {dleft( {O,left( {A'B'C'} ight)} ight)}} = {{DD'} over {OO'}}.)

Vậy :

(left. matrix{  {V_{D'.ABC}} = {{DD'} over {OO'}}{V_{O'.ABC}} hfill cr  {V_{D.A'B'C'}} = {{DD'} over {OO'}}{V_{O.A'B'C'}} hfill cr}  ight};;;;;(1))

Đặt (h = dleft( {BB',left( {ACC'A'} ight)} ight).)

Ta có (h = dleft( {B,left( {ACC'A'} ight)} ight)) và

(eqalign{  & {V_{O'.ABC}} = {V_{B.O'AC}} = {1 over 3}h.{S_{O'AC}};;;;;(2)  cr  & {V_{O.A'B'C'}} = {V_{B'.OA'C'}} = {1 over 3}h.{S_{OA'C'}};;;(3) cr} )

Đặt (d = dleft( {AA',CC'} ight)) thì (eqalign{  & {S_{O'AC}} = {S_{OA'C'}} = {1 over 2}OO'.d;;;;(4)  cr  &  {S_{O'AC}} = {S_{AOO'}} + {S_{COO'}} cr&;;;;;;;;;;= {1 over 2}OO'left( {dleft( {A,OO'} ight) + dleft( {C.OO'} ight)} ight) cr&;;;;;;;;;;= {1 over 2}OO'.d  cr} )

Tương tự ({S_{OA'C'}} = {1 over 2}OO'.d).

Từ (2), (3), (4) suy ra ({V_{O'.ABC}} = {V_{O.A'B'C'}};;;;(5))

Từ (1) và (5) ta suy ra ({V_{D'.ABC}} = {V_{D.A'B'C'}}.)

Sachbaitap.com