Bài 46 trang 126 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

a)Cho mặt cầu có phương trình

a) Cho mặt cầu có phương trình ({x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x - 2y + 4z + 5 = 0) và điểm ({M_0}(4;3;0)). Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm ({M_0}.)

b) Viết phương trình mặt cầu có tâm I(-2;1;1) và tiếp xúc với mặt phẳng (left( alpha  ight)) có phương trình (x + 2y - 2z + 5 = 0.)

c) Cho bốn điểm (A(3; - 2; - 2),B(3;2;0),C( - 1;1;2).) Viết phương trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng (BCD).

d) Viết phương trình mặt cầu đi qua ba điểm (A(1;0;0),B(0;1;0),C(0;0;1)) và có tâm I nằm trên mặt phẳng (x + y + z - 3 = 0.)

Giải

a) Dễ thấy điểm ({M_0}(4;3;0)) thuộc mặt cầu và điểm (I(3;1; - 2)) là tâm mặt cầu. Do đó, mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại điểm M₀ là mặt phẳng đi qua điểm M₀ với vec tơ pháp tuyến (overrightarrow {I{M_0}} ), nó có phương trình :

(1.(x - 4) + 2(y - 3) + 2(z - 0) = 0) hay (x + 2y + 2z - 10 = 0.)

b) Bán kính R của mặt cầu phải tìm bằng khoảng cách từ tâm I(-2;1;1) tới mặt phẳng (left( alpha  ight)) nên (R = {{left| { - 2 + 2 - 2 + 5} ight|} over {sqrt {1 + 4 + 4} }} = 1.)

Vậy phương trình mặt cầu là

({left( {x + 2} ight)^2} + {left( {y - 1} ight)^2} + {left( {z - 1} ight)^2} = 1.)

c) Ta có (overrightarrow {BC}  = ( - 3;0;1),overrightarrow {BD}  = ( - 4; - 1;2) )

(Rightarrow left[ {overrightarrow {BC} ,overrightarrow {BD} } ight] = (1;2;3)).

Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là :

(1(x - 3) + 2(y - 2) + 3(z - 0) = 0) hay (x + 2y + 3z - 7 = 0.)

Gọi R là bán kính mặt cầu cần tìm, ta có :

(R = dleft( {A,left( {BCD} ight)} ight) = {{left| {3 + 2( - 2) + 3( - 2) - 7} ight|} over {sqrt {1 + 4 + 9} }} = sqrt {14} .)

Vậy phương trình mặt cầu là :

({left( {x - 3} ight)^2} + {left( {y + 2} ight)^2} + {left( {z + 2} ight)^2} = 14.)

d) Phương trình mặt cầu (S) phải tìm có dạng

({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2ax - 2by - 2cz + d = 0.)

Ta có (eqalign{  & A in (S) Rightarrow 1 - 2a + d = 0,  cr  & B in (S) Rightarrow 1 - 2b + d = 0,  cr  & C in (S) Rightarrow 1 - 2c + d = 0. cr} )

Đồng thời tâm I(a; b; c) của mặt cầu thuộc mặt phẳng (x + y + z - 3 = 0) nên (a + b + c - 3 = 0.)

Giải hệ (left{ matrix{  1 - 2a + d = 0 hfill cr  1 - 2b + d = 0 hfill cr  1 - 2c + d = 0 hfill cr  a + b + c - 3 = 0 hfill cr}  ight. Rightarrow a = b = c = d = 1.)

Vậy phương trình mặt cầu là

({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 2y - 2z + 1 = 0.)

Sachbaitap.com