Bài 43 trang 125 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

Viết phương trình mặt phẳng trong mỗi trường hợp sau:

a) Đi qua điểm M₀(2;1;-1) và qua giao tuyến của hai mặt phẳng

x-y+z-4=0 và 3x-y+z-1=0.

b) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng y+2z-4=0 và x+y-z+3=0, đồng thời song song với mặt phẳng x+y+z-2=0.

c) Qua giao tuyến của hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0, đồng thời vuông góc với mặt phẳng 2x-z+7=0.

Giải

a) Gọi M(x;y;z) là điểm thuộc giao tuyến (Delta ) của hai mặt phẳng, khi đó tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ:

(left{ matrix{  x - y + z = 4 hfill cr  3x - y + z = 1. hfill cr}  ight.)

Đây là hệ ba ẩn có hai phương trình. Ta tìm hai nghiệm nào đó của hệ.

Cho z=0, ta có (left{ matrix{  x - y = 4 hfill cr  3x - y = 1 hfill cr}  ight. Rightarrow left{ matrix{  x =  - {3 over 2} hfill cr  y =  - {{11} over 2}. hfill cr}  ight.)

Vậy ({M_1}( - {3 over 2}; - {{11} over 2};0) in Delta .)

Cho y=0, ta có (left{ matrix{  x + z = 4 hfill cr  3x + z = 1 hfill cr}  ight. Rightarrow left{ matrix{  x =  - {3 over 2} hfill cr  y = {{11} over 2}. hfill cr}  ight.)

Vậy ({M_2}left( { - {3 over 2};0;{{11} over 2}} ight) in Delta .)

Mặt phẳng phải tìm chính là mặt phẳng đi qua ({M_0},{M_1},{M_2}.)

Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm trên, ta được:

(15x-7y+7z-16=0.)

b) Cách 1 : Ta thấy hệ phương trình

(left{ matrix{  y + 2z - 4 = 0 hfill cr  x + y - z + 3 = 0 hfill cr  x + y + z - 2 = 0 hfill cr}  ight.)

Có một nghiệm duy nhất là(left( {{1 over 2}; - 1;{5 over 2}} ight).)

Điều này có nghĩa là giao tuyến của hai mặt phẳng

(y+2z-4=0) và (x+y-z+3=0)

Cắt mặt phẳng (x+y+z-2=0.)

Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Cách 2 : Ta tìm hai điểm thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

Cho z = 0, ta được ({M_1}( - 7;4;0),) Cho y = 0, ta được ({M_2}( - 1;0;2).)

Gọi (left( alpha  ight)) là mặt phẳng song song với mặt phẳng (x+y+z-2=0) thì (left( alpha  ight)) có dạng :

(x + y + z + D = 0,D e  - 2.)

Ta xác định D để ({M_1},{M_2} in left( alpha  ight).) D là nghiệm của hệ :

(left{ matrix{   - 7 + 4 + D = 0 hfill cr   - 1 + 2 + D = 0. hfill cr}  ight.)

Hệ vô nghiệm. Vậy không tồn tại mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Ta tìm hai điểm ({M_1},{M_2}) thuộc giao tuyến của hai mặt phẳng.

Gọi (overrightarrow {n'}  = (2;0; - 1)) là vec tơ pháp tuyến của mặt phẳng (2x-z+7=0).

Khi đó mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng đi qua M₁ và có vec tơ pháp tuyến (overrightarrow n  = left[ {overrightarrow {{M_1}{M_2}} ,overrightarrow {n'} } ight].)

Sau các tính toán, ta có kết quả : Mặt phẳng cần tìm có phương trình :

(x-22y+2z+21=0.)

Sachbaitap.com