Bài 42 trang 62 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO.

Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO. Gọi A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy của hình nón sao cho khoảng cách từ O dến AB bằng a và (widehat {SAO}) = 30⁰, (widehat {SAB}) = 60⁰. Tính diện tích xung quanh hình nón.

Giải

Gọi (I) là trung điểm của AB thì (OI ot AB,SI ot AB,OI = a.) Ta có

(AO = SAcos ) (widehat {SAO} ={{sqrt 3 } over 2}SA.)

(AI = SAcos ) (widehat {SAI} ={1 over 2}SA.)

Từ đó ({{AI} over {AO}} = {1 over {sqrt 3 }}.) Mặt khác ({{AI} over {AO}} = cos widehat {IAO})

( Rightarrow sin widehat {IAO} ={{sqrt 6 } over 3} = {a over {OA}}.)

Vậy (OA = {{3a} over {sqrt 6 }} = {{asqrt 6 } over 2}.)

Xét tam giác SAO, ta có (SA = {{OA} over {cos {{30}^0}}} = {{asqrt 6 } over 2}.{2 over {sqrt 3 }} = asqrt 2 .)

Từ đó diện tích xung quanh của hình nón đã cho là

({S_{xq}} = pi .OA.SA = pi .{{asqrt 6 } over 2}.asqrt 2  = pi {a^2}sqrt 3 .)

Sachbaitap.com