Bài 30 trang 60 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình hộp

Cho hình hộp (ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1})  nội tiếp trong một hình trụ cho trước, góc giữa đường thẳng ({B_1}D) và mặt phẳng (left( {AB{B_1}{A_1}} ight)) bằng 30⁰. Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng (left( {AB{B_1}{A_1}} ight)) bằng ({3 over 2}a). Tính thể tích hình hộp đã cho và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình hộp, biết đường kính của đáy hình trụ bằng 5a.

Giải

Vì hình hộp (ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}) nội tiếp hình trụ nên (ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}) là hình hộp chữ nhật, trục hình trụ là OO₁ ( đoạn nối tâm hai đáy của hình hộp ) và khoảng cách từ OO₁ đến mặt phẳng ((AB{B_1}{A_1})) bằng nửa AD. Từ đó AD = 3a.

BD là đường kính của đường tròn đáy hình trụ nên BD = 5a, suy ra

(A{B^2} = B{D^2} - A{D^2} = 16{a^2}), tức là AB = 4a,

Dễ thấy  (widehat {D{B_1}A})  là góc giữa ({B_1}D) và mặt phẳng ((AB{B_1}{A_1})), theo giả thiết thì  (widehat {D{B_1}A})  = 30⁰, từ đó ({B_1}D = 2AD = 6a.)

Vậy (BB_1^2 = {B_1}{D^2} - B{D^2} )

(eqalign{
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, ;= 36{a^2} - 25{a^2} = 11{a^2} cr
& Rightarrow B{B_1} = asqrt {11} cr} )

Do đó thể tích hình hộp đã cho là:

(V = AB.AD.B{B_1} = 4a.3a.asqrt {11}  = 12{a^3}sqrt {11} )

Gọi O’ là trung điểm của (O{O_1}) thì O’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật (ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}) và bán kính của mặt cầu đólà (R = {1 over 2}{B_1}D = 3a.)

Từ đó thể tích hình cầu phải tìm là

(V = {4 over 3}pi {R^3} = {4 over 3}pi .27.{a^3} = 36pi {a^3}.)

Sachbaitap.com