Bài 34 trang 61 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình nón N có bán kính đáy R,

Cho hình nón N  có bán kính đáy R, đường cao SO. Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với SO tại O₁ sao cho (S{O_1} = {1 over 3}SO.) Một mặt phẳng qua trục hình nón cắt phần khối nón N  nằm giữa (P) và đáy hình nón theo thiết diện là hình tứ giác có hai đường chéo vuông góc.

Tính thể tích phần hình nón N nằm giữa mặt phẳng (P) và mặt phẳng chứa đáy hình nón N.

Giải

Gọi thiết diện thu được là ({ m{A}}{{ m{A}}_1}{B_1}B).

Vì (S{O_1} = {1 over 3}SO) nên

({A_1}{B_1} = {1 over 3}AB = {1 over 3}.2R.)

Mặt khác (A{B_1} ot {A_1}B) tại I nên

(IO = {1 over 2}AB,I{O_1} = {1 over 2}{A_1}{B_1}.)

Vậy (O{O_1} = R + {R over 3} = {{4R} over 3}.)

Dễ thấy (S{O_1} = {1 over 2}O{O_1} = {{2R} over 3}.)

Từ đó (SO = 2R.)

Gọi thể tích phần hình nón phải tính là (V^ * ) thì (V^ *  = {V_1} - {V_2}), trong đó :

V₁ là thể tích của hình nón N.

V₂ là thể tích hình nón đỉnh S và đáy là thiết diện của N. được cắt bởi (P).

Ta có thể tích phần hình nón phải tính là

(eqalign{  & V ^*  = {V_1} - {V_2} = {1 over 3}pi .O{B^2}.SO - {1 over 3}pi .{O_1}{B_1}^2.S{O_1}  cr  &  = {1 over 3}pi ({R^2}.2R - {{{R^2}} over 9}.{{2R} over 3}) = {{52pi {R^3}} over {81}}. cr} )

Sachbaitap.com