Bài 42 Trang 175 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao, tìm nguyên hàm của các hàm số sau...

Bài 42

a) (y = {1 over {{x^2}}}cos left( {{1 over x} – 1} ight));           b) (y = {x^3}{left( {1 + {x^4}} ight)^3});
c) (y = {{x{e^{2x}}} over 3});                            d) (y = {x^2}{e^x}).

Giải

a) Đặt (u = {1 over x} – 1 Rightarrow du =  – {1 over {{x^2}}}dx Rightarrow {{dx} over {{x^2}}} =  – du)
Do đó (int {{1 over {{x^2}}}} cos left( {{1 over x} – 1} ight)dx =  – int {cos udu =  – sin u + C =  – sin left( {{1 over x} – 1} ight)}  + C)

b) Đặt (u = 1 + {x^4} Rightarrow du = 4{x^3}dx Rightarrow {x^3}dx = {{du} over 4})

(int {{x^3}{{left( {1 + {x^4}} ight)}^3}dx = {1 over 4}int {{u^3}du = {{{u^4}} over {16}} + C = {1 over {16}}} } {left( {1 + {x^4}} ight)^4} + C)

c) Đặt 

(left{ matrix{
u = {x over 3} hfill cr
dv = {e^{2x}}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = {1 over 3}dx hfill cr
v = {1 over 2}{e^{2x}} hfill cr} ight.)

Suy ra: (int {{{x{e^{2x}}} over 3}dx = {1 over 6}x{e^{2x}} – {1 over 6}int {{e^{2x}}dx = {1 over 6}x{e^{2x}} – {1 over {12}}{e^{2x}} + C} } )

d) Đặt 

(left{ matrix{
u = {x^2} hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = 2xdx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight.)

Suy ra (int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} – 2int {x{e^x}dx} } )   (1)

Đặt 

(left{ matrix{
u = x hfill cr
dv = {e^x}dx hfill cr} ight. Rightarrow left{ matrix{
du = dx hfill cr
v = {e^x} hfill cr} ight.)

Do đó: (int {x{e^x}dx = x{e^x} – int {{e^x}dx = x{e^x} – {e^x} + C} } )

Từ (1) suy ra (int {{x^2}{e^x}dx = {x^2}{e^x} – 2x{e^x} + 2{e^x} + C = {e^x}left( {{x^2} – 2x + 2} ight) + C} )