Bài 3 trang 54 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho tam giác đều ABC cạnh a.

Cho tam giác đều ABC cạnh a. Xét đường thẳng (Delta ) đi qua A và vuông góc với mp(ABC). Gọi S là điểm bất kì trên (Delta ), S khác A.

1) Khi SA=h (h cho trước ), hãy tính diện tích và thể tích của hình cầu ngoại tiếp tứ diện SABC.

2) Gọi A’ là điểm đối xứng với điểm A qua tâm mặt cầu nói trên. Chứng minh rằng khi S thay đổi (Delta ) thì A’ thuộc một đường thẳng cố định.

Giải

(h.49)

 

1) Gọi G là trọng tâm của tam giác đều ABC và d là trục của đường tròn ngoại tiếp (Delta ABC)  thì (G in d) và (d//Delta ). Trong (mp(Delta ,d),) đường trung trực của SA cắt d tại điểm I thì I là tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC và R=IA là bán kính của mặt cầu đó.

Dễ thấy (GI = {1 over 2}SA = {h over 2},AG = {{asqrt 3 } over 3},) từ đó (I{A^2} = {{{h^2}} over 4} + {{{a^2}} over 3} = {1 over {12}}(4{a^2} + 3{h^2}).)

Vậy mặt cầu đó có diện tích là

(S = {pi  over 3}(4{a^2} + 3{h^2}))

Và thể tích là

(V = {4 over 3}pi .{left( {{{sqrt {4{a^2} + 3{h^2}} } over {2sqrt 3 }}} ight)^3} = {pi  over {18sqrt 3 }}{(sqrt {4{a^2} + 3{h^2}} )^3}.)

2) Khi S thay đổi trên đường thẳng (Delta ) thì tâm (I) của mặt cầu ấy thay đổi trên đường thẳng d. Mặt khác (overrightarrow {AA'}  = 2overrightarrow {AI} ,) vậy A’ thuộc đường thẳng (Delta ') song song với (Delta ) và qua điểm ({A_1}) sao cho (overrightarrow {A{A_1}}  = 2overrightarrow {AG} ,) tức là A’ thuộc đường thẳng cố định (Delta '.)

Sachbaitap.com